Можно ли оценить дисперсию

[alexey007]

Привет, всем!

Задача такая. Элементы случайной выборки $\{x_1, x_2, x_3, ..., x_n\}$ НЕ известны. Но известны разности значений соседних элементов выборки $ d_1=x_2-x_1, ..., d_{n-1}=x_n-x_{n-1}$ Можно ли зная только разности $d_i$ оценить дисперсию?

[prof.uskov]

Вроде как можно, если ни дисперсию, то какую-нибудь характеристику разброса точно.
А где такая задача возникла?

[dsge]

$D(x_2-x_1)=D(x_2)+D(x_1)=2D(x)$

[Евгений Машеров]

Да, если элементы действительно в случайном порядке. Наибольшая опасность - наличие автокорреляции.

[ИСН]

Если известны разности, то тем самым известны и элементы с точностью до сдвига. А дисперсия не зависит от сдвига.

-- менее минуты назад --

Это если разности идут по порядку. Если нет - см. предыдущие ответы.

[B@R5uk]

Принимаем $x_1$ за любое удобное число (ноль, например). Через имеющиеся разности рассчитываем остальные иксы. А дальше как обычно: находим среднее, находим сумму квадратов разностей, делим на количество элементов в сумме без единицы. По скольку из неизвестных элементов вычитается среднее, то наш начальных выбор $x_1$ ни на что не влияет.

[alexey007]

prof.uskov, задача возникла при анализе временного ряда.
Всем кто откликнулся большое спасибо за ответы!

[dsge]

alexey007 в сообщении #1169426 писал(а):

задача возникла при анализе временного ряда.

Тогда, скорее всего, автокорреляции надо принимать во внимание и формула выше некорректна.

[Евгений Машеров]

Собственно, известный критерий Дарбина-Уотсона на этом основан. Сумма квадратов разностей делится на сумму квадратов самих значений (предполагается, что среднее у них ноль). Если получается 2 - независимы, если автокорреляция стремится к единице, критерий стремится к нулю, если автокорреляция к минус единице - то к четырём. То есть для получения из суммы квадратов разностей оценки дисперсии надо делить не на два, а на $2(1-\rho)$, где "ро" это коэффициент автокорреляции первого порядка (предполагается, что у нас данные либо некоррелированы, либо автокорреляция лишь первого порядка)

[dsge]

Да, и случайное блуждание будет контрпримером, когда по дисперсии разностей нельзя восстановить дисперсию уровней, поскольку последней не существует.

[prof.uskov]

Евгений Машеров в сообщении #1169480 писал(а):

Собственно, известный критерий Дарбина-Уотсона на этом основан. Сумма квадратов разностей делится на сумму квадратов самих значений (предполагается, что среднее у них ноль). Если получается 2 - независимы, если автокорреляция стремится к единице, критерий стремится к нулю, если автокорреляция к минус единице - то к четырём.

Извините, тему отдельную не стал создавать, попутно вопрос есть.

А чем критерий Дарбина-Уотсона лучше нахождения автокорреляции порядка 1?
В первом случае имеем:

$$d = \frac{{\sum\limits_{i=2}^{n}}{({e_i}-{e_{i-1}})^2}}{{\sum\limits_{i=1}^{n}}{{{e_i}^2}}}$$

Во втором:

$$k ={\frac{n}{n-1}}{\frac{{\sum\limits_{i=2}^{n}}{{e_i}{e_{i-1}}}}{{\sum\limits_{i=1}^{n}}{{e_i}^2}}}$$

При большом $n$ получается:

$$d = 2(1-k)$$

[Евгений Машеров]

Считается быстрее. Что в 1950 году было принципиально важно. Особенно если под рукой таблицы квадратов, тогда альтернатива логарифмам для умножения. Складывать-вычитать вручную проще умножения. Сейчас DW сохраняется в силу традиции и для совместимости.

[prof.uskov]

Евгений Машеров в сообщении #1170071 писал(а):

Считается быстрее. Что в 1950 году было принципиально важно. Особенно если под рукой таблицы квадратов, тогда альтернатива логарифмам для умножения. Складывать-вычитать вручную проще умножения. Сейчас DW сохраняется в силу традиции и для совместимости.

Вот и мне так кажется, что найти интервальную оценку для DW, что для коэффициента корреляции, сейчас все едино.
Но он все же немного отличается при малых n... Однако преимущества и недостатки не ясны.