Наименьшее расстояние от эллипса до прямой

[dima_1985]

Добрый день !!Не уверен в корректности данного решения? Подскажите пожалуйста. Необходимо найти наименьшее расстояние от эллипса $\frac{27}{28}x^2+\frac{9}{7}y^2=1$ до прямой $3x+4y+5=0$. Ход решения. 1 - найдем нормаль к эллипсу $y-y_0=\frac{4y_0}{3x_0}(x-x_0)$. 2 - найдем вектор нормали к прямой $(3;4)$. 3 - вектор нормали к прямой и нормаль к эллипсу параллельны $\frac{9x_0}{4y_0}=\frac{4}{1}$. 4 - добавим уравнения принадлежности точки к эллипсу, получим систему $ \left\{ \begin{array}{rcl} 16y_0&=&9x_0\\ \frac{27}{28}x_0^2+\frac{9}{7}y_0^2&=&1 \\ \end{array} \right. $. Решив систему получим четыре корня $x=\pm\frac{16}{3\sqrt{39}};y=\pm\sqrt{\frac{3}{13}}$. Минимальное расстояние $( -\frac{16}{3\sqrt{39}};-\sqrt{\frac{3}{13}})$. Можно проще решить данную задачу??

[worm2]

В вычисления не вникал, но, по-моему, проще не получится. Все действия нужны.

[Pphantom]

dima_1985 в сообщении #1169399 писал(а):

1 - найдем нормаль к эллипсу $y-y_0=\frac{4y_0}{3x_0}(x-x_0)$.

Это неверно (точнее, неверно найдена нормаль). Последующие действия идеологически корректны, но из-за ошибки на старте результаты получаются неверными.

Кстати, искать-то нужно не ближайшую к прямой точку эллипса, а минимальное расстояние, так что в некотором смысле Вы не довели решение до конца.

[dima_1985]

Да, нормаль не правильно найдена. $y-y_0=\frac{3y_0}{4x_0}(x-x_0)$. В ответе получим $(-\frac{2}{3};-\frac{2}{3})$. А расстояние до точки легко по формуле получаться $d=\frac{1}{15}$. Спасибо огромное !!

[VAL]

Ответ верен.
Но, мне кажется, проще сразу искать точки, в которых касательная к эллипсу, задаваемая, как известно, уравнением

$$\frac{xx_0}{a^2}+\frac{yy_0}{b^2}=1$$

параллельна данной прямой. Ну и затем расстояние от ближней из двух найденных точек до прямой.

PS: А где Вы взяли условие "Найти наименьшее расстояние..."?
Разве за расстояние между объектами заранее не принимается наименьшее расстояние между парами точек, принадлежащих этим объектам?
Иначе мы бы искали, скажем, "наименьшее расстояние от точки до прямой". Но мы же говорим просто "расстояние от точки до прямой", понимая, что это, как раз, расстояние от данной точки, до ближайшей к ней точки на прямой.

[TOTAL]

$\frac{3}{28}(4y+5)^2+\frac{9}{7}y^2=R^2$ (отсюда найдем $R$, при котором расстояние до прямой равно нулю, т.е. дискриминант квадратного уравнения равен нулю)

Расстояние до прямой линейно по $R$.
При $R=15/14$ расстояние до прямой равно нулю.
При $R=0$ расстояние до прямой равно единице.
Поэтому при $R=1$ расстояние до прямой равно $1/15$.