Заметки об уравнениях в частных производных

[V.V.]

Текст об УрЧП лежит на странице http://u-pereslavl.botik.ru/~trushkov/pde/pde.zip
Пока это не является книгой, хотя мне и хочется его в этом году издать.

Текст постоянно дополняется и правится. Конструктивная критика всячески приветствуется. Всяческая критика принимается также (как вам удобнее) и по электронному адресу ode _at_ trushkov _point_ pereslavl _point_ ru.

[zoo]

Мнда, так на чем мы там с Вами остановились? Насчет уравнения Навье-Стокса, я думаю, что Вы уже подчитали. Так стр. 86 уравнение Пуассона. Во-первых хотелось бы всетаки знать в какой области решается уравнение (1) и в каком пространстве лежит его правая часть $f$.
А то даже краевое условие может потерять смысл.

Это брутально по отношению к студенту. Более длинного доказательства теоремы существования слабого решения для ур. Пуассона мне видеть не приходилось. А межу тем вещь тривиальная. Буду пользоваться более привычными для меня обозначениями. Пусть $f\in H^{-1}(\Omega)$, раз Вы говорите об обобщенных решениях, то фактичеки предполагаете это.
$(f,h)$ -- значение линейной функции $f$ на функции $h\in H^1_0(\Omega)$. По теореме Рисса, существует и единственная функция $u\in H^1_0(\Omega)$ такая, что
$(f,h)=(\nabla u,\nabla h)_{L^2(\Omega)}$ и все! Единственность, как я понял, Вы вовсе не доказываете.

Сложность Вашего доказательства весьма искуственнаа, она вызвана тем, что в галеркиновских приближениях Вы используете незнамо какой базис в $H^1_0(\Omega)$, вместо того, чтобы выбрать базис из собственных функций оператора Лапласа. Существование этого базиса тоже доказывается в одну строчку. Может показаться, что это сделано для иллюстрации метода Галеркина, однако даже в более сложных задачах, в том же Навье-Стоксе, например, галеркиновская аппроксимация не берется с потолка, а строится с помощью базиса связанного с задачей. Впрочем, это дело вкуса, каждый тратит часы учебной нагрузки как хочет.

Вернемся к существу дела. В самом конце доказательства у Вас имеется дыра: из того, что последовательность функций $u_{N_k}$ сходится слабо к функции $u$ не следует, что
"Пр$_{L_N}u=u_N$", как Вы пишите на стр. 89.

[V.V.]

Длина доказательства вполне компенсируется тем, что мне не приходится объяснять, что такое $H^{-1}$, и не приходится доказывать теорему Рисса (курса функционального анализа в моем университете нет).

Впрочем, Вы правы в том, что надо немного изменить главу про галеркинские приближения: надо как-нибудь добавить туда примеры.

Строгость доказательства меня устраивает. А Ваше заявление, вероятно, вызвано тем, что Вы прочитали не все написанные буковки.

Что касается собственных функции оператора Лапласа, то они (вот, беда!) находятся далеко не всегда.

[AD]

http://u-pereslavl.botik.ru/~trushkov/pde/pde.zip. писал(а):

The requested URL /~trushkov/pde/pde.zip. was not found on this server.

Добавлено спустя 39 секунд:

А, понял. Точку уберите из-под ссылки!

[zoo]

V.V. писал(а):

Длина доказательства вполне компенсируется тем, что мне не приходится объяснять, что такое $H^{-1}$,

замените в моих рассуждениях $H^Х{-1}$ на $L^2$

V.V. писал(а):

и не приходится доказывать теорему Рисса

а то, что можно выделить слабосходящуюся подпоследовательность Вы доказываете? Вы же этим пользуетесь

V.V. писал(а):

Строгость доказательства меня устраивает. А Ваше заявление, вероятно, вызвано тем, что Вы прочитали не все написанные буковки.

все прочитал, нет там доказательства ( и не факт, что это равенство с проекцией вообще верно) совет: покажите это место людям, которые понимают функан, или вынесите на общий форум

V.V. писал(а):

Что касается собственных функции оператора Лапласа, то они (вот, беда!) находятся далеко не всегда.

а для доказательства Вам их не искать надо, а знать, что существует базис из них, а этот факт доказывается легко и быстро. Разница есть некоторая между "найти" и доказать теорему существования

[V.V.]

Хотите вынести какой-нибудь вопрос на общий форум - выносите.

Что касается базиса из собственных функций, то он мне как раз не нужен. Мне нужно доказать теорему для любого базиса. А уж какой я потом возьму для конкретной задачи, так это мое дело.
Если работать только с собственными функциями, то что делать, если в конкретной задаче попадется "кривая" область, для которой не умеем решать задачу о нахождении собственных функций?

Добавлено спустя 23 минуты 8 секунд:

Да, изложенное мной доказательство неконструктивно. Но оно дает возможность строить галеркинские приближения не только по собственным функциям.

[zoo]

V.V. писал(а):

Если работать только с собственными функциями, то что делать, если в конкретной задаче попадется "кривая" область, для которой не умеем решать задачу о нахождении собственных функций?

А явно выделять в конкретной задаче слабо сходящуюся подпоследовательность Вы умеете?
Ваше доказательство также неконструктивно, как и мое.

[V.V.]

zoo писал(а):

Ваше доказательство также неконструктивно, как и мое.

Да, изложенное мной доказательство неконструктивно. Но оно дает возможность строить галеркинские приближения не только по собственным функциям.

[barga44]

А нельзя ли подробно изложить в учебнике 6 проблему века про уравнение Навье-Стокса.Только постановку задачи.

Откуда берется, например, неравенство, что частные производные скорости должны уменьшаться при стремлении x к бесконечности ?
То есть взять текст и его рассказать на примерах.
http://www.math.ohio-state.edu/~tanveer/mathcolloq.pdf
Это было бы очень полезно студентам.

[V.V.]

barga44, спасибо!

[Martin_Iden]

К сожалению не могу скачать pde.zip по указанной ссылке

[V.V.]

http://u-pereslavl.botik.ru/~trushkov/pde/pde.pdf

[Martin_Iden]

спасибо. получил. почитаю