Доказать банаховость пространства (теорема Робертсона)

[infantier]

Помогите, пожалуйста, решить задачу.
Пусть $X$ - банахово пространство, $Y$ - нормированное пространство.
$A$ - линейное непрерывное отображение из $X$ в $Y$.
$A$ - открытое отображение (то есть переводит открытые множества в открытые).
Доказать, что $Y$ - банахово пространство.

[zoo]

infantier писал(а):

Помогите, пожалуйста, решить задачу.
Пусть $X$ - банахово пространство, $Y$ - нормированное пространство.
$A$ - линейное непрерывное отображение из $X$ в $Y$.
$A$ - открытое отображение (то есть переводит открытые множества в открытые).
Доказать, что $Y$ - банахово пространство.

Теорема [Робертсон, Топологические векторные пространства]. В условиях задачи: $A=UP$ где $P:X\to X/Ker A$ -- канонич. проекция, и $U:X/Ker A\to Y$ -- взаимнооднозначное, непрерывное, открытое.
Следовательно, $U$ -- линейный гомеоморфизм, следовательно $Y$ -- банахово.

[AD]

Мне как-то встретилась родственная задача, и тоже не знаю как решается.

Можно ли непрерывно и линейно отобразить какое-нибудь банахово пространство на какое-нибудь счетномерное* нормированное пространство?

В частности, $\ell_2$ на пространство многочленов на $[0,1]$ с $L_2$-нормой. Или тригонометрических многочленов с той же нормой.
_________________
* то есть заведомо не банахово

Добавлено спустя 1 минуту 20 секунд:

То есть похожа на первую потому, что можно сформулировать так:

Пусть $X$ - банахово пространство, $Y$ - счетномерное нормированное пространство.
$A$ - линейное непрерывное отображение из $X$ в $Y$.
Доказать, что $Y$ - банахово пространство, и прийти к противоречию.

[infantier]

zoo писал(а):

infantier писал(а):

Помогите, пожалуйста, решить задачу.
Пусть $X$ - банахово пространство, $Y$ - нормированное пространство.
$A$ - линейное непрерывное отображение из $X$ в $Y$.
$A$ - открытое отображение (то есть переводит открытые множества в открытые).
Доказать, что $Y$ - банахово пространство.

Теорема [Робертсон, Топологические векторные пространства]. В условиях задачи: $A=UP$ где $P:X\to X/Ker A$ -- канонич. проекция, и $U:X/Ker A\to Y$ -- взаимнооднозначное, непрерывное, открытое.
Следовательно, $U$ -- линейный гомеоморфизм, следовательно $Y$ -- банахово.

Почему $U$ - взаимно-однозначное?

[zoo]

infantier писал(а):

Почему $U$ - взаимно-однозначное?

потому, что $A$ является отображением "на". Действительно, пусть $B_X(R)$ --открытый шар пространства $X$ радиуса $R$ с центром в нуле. Тогда $A(B_X(R))$ -- открыто в $Y$, следовательно при некотором $r>0$ имеем $B_Y(r)\subset A(B_X(R))$. Теперь берем любой $y\in Y$. при некотором $\varepsilon>0$ будет $\varepsilon y\in B_Y(r)$ тогда найдется $x\in B_X(R)$ такой, что $Ax=\varepsilon y$ и соответственно $A(x/\varepsilon)=y$.

[infantier]

Сюръективность я понял. А почему отображение $U$ - непрерывное и открытое.

[zoo]

infantier писал(а):

Сюръективность я понял. А почему отображение $U$ - непрерывное и открытое.

это входит в утверждение теоремы из Робертсона

[infantier]

А можете дать ссылку на Робертсона где-нибудь в интернете?

Добавлено спустя 39 минут 24 секунды:

Хотя я вроде понял как доказывать.

[Brukvalub]

infantier писал(а):

А можете дать ссылку на Робертсона где-нибудь в интернете?

- на всякий случай:
http://www.poiskknig.ru/cgi-bin/poisk.cgi?lang=ru&st=%D0%A0%D0%BE%D0%B1%D0%B5%D1%80%D1%82%D1%81%D0%BE%D0%BD&network=1