Мнда, так на чем мы там с Вами остановились? Насчет уравнения Навье-Стокса, я думаю, что Вы уже подчитали. Так стр. 86 уравнение Пуассона. Во-первых хотелось бы всетаки знать в какой области решается уравнение (1) и в каком пространстве лежит его правая часть
.
А то даже краевое условие может потерять смысл.
Это брутально по отношению к студенту. Более длинного доказательства теоремы существования слабого решения для ур. Пуассона мне видеть не приходилось. А межу тем вещь тривиальная. Буду пользоваться более привычными для меня обозначениями. Пусть
, раз Вы говорите об обобщенных решениях, то фактичеки предполагаете это.
-- значение линейной функции
на функции
. По теореме Рисса, существует и единственная функция
такая, что
и все! Единственность, как я понял, Вы вовсе не доказываете.
Сложность Вашего доказательства весьма искуственнаа, она вызвана тем, что в галеркиновских приближениях Вы используете незнамо какой базис в
, вместо того, чтобы выбрать базис из собственных функций оператора Лапласа. Существование этого базиса тоже доказывается в одну строчку. Может показаться, что это сделано для иллюстрации метода Галеркина, однако даже в более сложных задачах, в том же Навье-Стоксе, например, галеркиновская аппроксимация не берется с потолка, а строится с помощью базиса связанного с задачей. Впрочем, это дело вкуса, каждый тратит часы учебной нагрузки как хочет.
Вернемся к существу дела. В самом конце доказательства у Вас имеется дыра: из того, что последовательность функций
сходится слабо к функции
не следует, что
"Пр
", как Вы пишите на стр. 89.