Описание носителя

[chezare]

Подскажите, пожалуйста, как определяется носитель функции из пространства L^1_{loc}(\mathbb{R}^N). И из каких соображений?

Заранее спасибо!

[Gafield]

Если определять как для гладкой функции, вряд ли получится что-то хорошее, поскольку функция здесь - это класс эквивалентности. Однако $L^1_{loc}(\mathbb{R}^N)$ вложено в пространство обобщенных функий ${\cal D}(\mathbb R^N)$. Для них определение носителя имеется, например, во Владимирове "Ур. мат. физики". А соображения простые: если интеграл от функции $f\in L^1_{loc}(\mathbb{R}^N)$, умноженной на любую гладкую $\varphi$ с носителем в данной обасти, равен нулю, то пересечение носителя и области пусто.

[chezare]

Имелось ввиду ${\cal D}'(\mathbb{R}^N)$ ?

[Gafield]

Да. Кстати, для $L_1$ можно попроще. В том же стиле, но без интегралов. Если сужение $f$ на область равно нулю в смысле $L_1$, то область и носитель не пересекаются. А сам носитель определяется как дополнение в $\mathbb R^N$ к объединению всех таких областей.

[chezare]

Большое спасибо, Gafield, за помощь. С этим, вроде, разобрался.

А если речь идёт о носителе функционала, определяемого мерой Лебега всех борелевских множеств в $\mathbb{R}^N$?

Для начала введём определение носителя меры $\mu$:
множество $supp (\mu)=\mathbb{R}^N \setminus G$, где $G$ --- наибольшее открытое множество такое, что $\mu(G)=0$. Теперь неоходимо дать описание носителя $supp\varphi_{\mu}$, если $\varphi_{\mu}(g)=\int\limits_{\mathbb{R}^{N}}g d\mu$, где $g$ --- гладкая с носителем в $\mathbb{R}^N$.

[Gafield]

Как связана фраза

Цитата:

А если речь идёт о носителе функционала, определяемого мерой Лебега всех борелевских множеств в $\mathbb{R}^N$?

со всем остальным? Мера $\mu$ произвольна или $d\mu=\chi_A dx$, где $A$ - борелевское множество, или что?

Означает ли

Цитата:

с носителем в $\mathbb{R}^N$.

"с компактным носителем", т.е. носитель $\varphi_\mu$ надо ввести в пространстве ${\cal D}(\mathbb R^N)$?

[chezare]

Фраза к тому, что с носителем функционала, определяемого локально интегрируемой по Лебегу функцией, я с Вашей помощью разобрался, а с носителем функционала $\varphi_{\mu}$ --- пока нет.
Мера Лебега $\mu$ --- произвольная.
Да, носитель $\varphi_{\mu}$ нужно ввести в пространстве ${\cal D}(\mathbb{R}^N)$

[Gafield]

Под мерой Лебега в $\mathbb R^N$ обычно подразумевается вполне конкретная мера . Что значит "Мера Лебега $\mu$ --- произвольная"?

[chezare]

Мера задаётся равентвом $\mu(A)=\inf\sum_{n}m(B_n)$, где нижняя грань берётся по всем покрытиям множества $A$ не более, чем счётными системами множств $B_n\in \sigma_m$ (сигма-алгебра борелевских множеств на $\mathbb{R}^N$), а $m$ --- сигма-аддитивная мера на $\mathbb{R}^N$.

[Gafield]

Ну, тогда вопрос о носителе здесь не причем. Была бы аналогиия с $L_1$, если бы числа сопоставлялись некоторым подмножествам ${\cal D}(\mathbb{R}^N)$. А у функционала есть ядро

[chezare]

Аналогия, видимо, срабатывает, если мера задаются через характеристическую функцию борелевских множеств? Не расскажете поподробней?

[Gafield]

Вопроса не понял. Носитель меры - это подмножество в $\mathbb R^N$. Оно может быть как-то сложно устроено. А ядро линейного функционала - это подпространство в ${\cal D}(\mathbb{R}^N)$. И более простое его описание для произвольной меры, чем "множество функций, интеграл по мере от которых равен нулю", вряд ли найдется

[chezare]

Для меры $\mu$ такой, что $d\mu=\chi_A dx$ более простого описания тоже нет?

[Gafield]

Как я уже сказал, это будет множество функций, интеграл от которых равен нулю. Правда, тут для аккуратности, возможно, надо поставить вместо $A$ носитель $\chi_A$.

Скажем, даже для $A=\mathbb R^N$ и меры $dx$ какое еще описание можно придумать?