Периодические траектории векторного поля на R^3

[scwec]

На $\mathbb{R}^3$ с координатами $x,y,z$ задано векторное поле $X=(ax^2-y^2-z^2)\frac{\partial}{\partial{x}}+(ay^2-x^2-z^2)\frac{\partial}{\partial{y}}+(az^2-x^2-y^2)\frac{\partial}{\partial{z}}$,
где $a$ - вещественное число. Найдите все периодические траектории этого поля.

[DeBill]

Слаживая все три дифура, получим
$(x+y+z)^{.}=(a-2)(x^2 +y^2 +z^2)$.
Потому при $a\ne 2$ нет пер-х траекторий (ну, кроме особой точки). (интеграл по периоду не будет равен 0).
При $a=2$: есть первый интеграл $c = x+y+z$. И все теперь можно смотреть на его поверхностях уровня.
Ну, я посмотрел случай $c=0$: там ур-я однородные, все решается, и пер-х - нет.
А вот при при прочих $c$ - непонятки. Хочь система и квадратичная, но....
Впрочем: у исходной системы есть инвариантные поверхности $x=y, x=z, y=z$, и неизолированные особые точки $x=y=z, x=y=-z, x=-y=z, -x=y=z$.
У двумерной: 4 особых точки : узел (происходит из точек на "биссектрисе" $x=y=z$), и три седла (от прочих), причем у седел есть могучие глобальные сепаратрисы - те линии , что получились из инвар-х плоскостей (а у узла - все три).
Если бы имелась периодическая траектория (отличная от особой точки), то - общая теория грит: внутре этого цикла есть особая точка. Но у нас их всего четыре, и через каждую проходит могучая сепаратриса - а она не уместится в нутре у цикла!
Итого: нету - кроме тривиальных.

[Red_Herring]

После нахождения $a=2$ умножить первое на $x^2$, второе на $y^2$, .... и сложить...

[DeBill]

Red_Herring
Вах!

[scwec]

DeBill, Red_Herring, все верно.
Для $a\ne{2}$ производная от $x+y+z$. а для $a=2$ производная от $x^3+y^3+z^3$ вдоль траектории решают вопрос.
Замечу также, что это рассуждение (с заменой $2$ на $n-1$) годится для любой размерности $\mathbb{R}^n$, $n>1$.