ортогональный базис

[Матика]

Помогите закончить решение задачи.
Найти ортогональный базис подпространства L, заданного системой уравнений
$ \left\{ \begin{array}{l} 2x_1+x_2+2x_3+3x_5 = 0,\\ 3x_1+2x_2+4x_3-x_4+9x_5 =0, \end{array} \right. $ и базис подпространства L( со значком перпендикуляра - не нашел, как он записывается). Мои действия: составил матрицу
$ \left( \begin{array}{ccccc} 2 & 1 & 2 &0 & 3\\ 3 & 2 & 4 & -1 & 9 \end{array} \right)$, преобразовал ее в $ \left( \begin{array}{ccccc} 1 & 1/2 & 1 & 0 & 3/2\\ 0 & 1 & 2 & -2 & 9 \end{array} \right)$, ранг равен 2 ФСР x = (0,-2,1,0,0),x = (-1,2,0,1,0),
x = (3,-9,0,4,1). Правильно рассуждал? Мой вопрос : как теперь ортоганизировать L по методу Грама - Шмидта?

[Brukvalub]

Матика писал(а):

Правильно рассуждал?

Рассуждал правильно.

Матика писал(а):

Мой вопрос : как теперь ортоганизировать L по методу Грама - Шмидта?

Да. Провести стандартный процесс ортогонализации. http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D1%80%D0%BE%D1%86%D0%B5%D1%81%D1%81_%D0%93%D1%80%D0%B0%D0%BC%D0%B0_%E2%80%95_%D0%A8%D0%BC%D0%B8%D0%B4%D1%82%D0%B0

[Sherpa]

там ошибка в арифметики вроде бы

[Brukvalub]

Sherpa писал(а):

там ошибка в арифметики вроде бы

Вот как раз арифметики я и не проверял - этого еще не хватало

[Sherpa]

ой, прошу прощения... сам накосячил

[Матика]

Формулу я знаю, но не пойму, как ею пользоваться. Вы не могли бы на моем примере сделать хотя бы одну подстановку?

[Профессор Снэйп]

Матика писал(а):

...со значком перпендикуляра - не нашел, как он записывается...

Значок перпендикуляра $\bot$ записывается

$\bot$

Совпадает с ником одного из участников

Вроде бы есть ещё какая-то другая запись для того же самого.

[Матика]

Спасибо. $L^\bot$

[Brukvalub]

Матика писал(а):

Формулу я знаю, но не пойму, как ею пользоваться. Вы не могли бы на моем примере сделать хотя бы одну подстановку?

Ну, натурально, детский сад на выезде...
Ладно, делаю шаг, но только один, второй - ни за какие коврижки!
Итак, исходная система такова:

\[ x_1 = (0\;,\; - 2\;,\;1\;,\;0\;,\;0)\;,\;x_2 = ( - 1\;,\;2\;,\;0\;,\;1\;,\;0)\;,\;x_3 = (3\;,\; - 9\;,\;0\;,\;4\;,\;1) \]

Тогда

\[ y_1 = x_1 = (0\;,\; - 2\;,\;1\;,\;0\;,\;0)\;,\;y_2 = x_2 - \frac{{(x_2 ,y_1 )}}{{(y_1 ,y_1 )}}y_1 = ( - 1\;,\;2\;,\;0\;,\;1\;,\;0) - \frac{{ - 4}}{5}(0\;,\; - 2\;,\;1\;,\;0\;,\;0) = ( - 1\;,\;\frac{2}{5}\;,\;\frac{{ - 4}}{5}\;,\;1\;,\;0) \]

[Матика]

Пусть $a_1$ =(0,-2,1,0,0) $a_2$ =(-1,2,0,1,0), $a_3$ =(0,-9,0,4,1) и $b=(b_1,b_2,b_3)$ - векторы составляющие ортогональный базис, тогда $b_1 = a_1$ =(0,-2,1,0,0)

$b_2=a_2- \frac {(a_2,b_1)} {(b_1,b_1)}*b_1$
$b_3=a_3- \frac {(a_3,b_1)} {(b_1,b_1)}*b_1$- $\frac {(a_3,b_2)} {(b_2,b_2)}*b_2$

.

Добавлено спустя 4 минуты 12 секунд:

Спасибо. Я тоже "выпыхтел", что и у Вас написано,но посчитать не смог. Теперь полегче пойдет решение..

Добавлено спустя 1 час 23 минуты 56 секунд:

Получили ортогональный базис подпространства L
$b_1=(0,-2,1,0,0)$
$b_2$ = (-1,$\frac {2} {5}$, $\frac {4} {5}$,1,0)
$b_3$ = ($\frac {55} {14}$, $\frac {-10} {7}$,$\frac {-152} {35}$, $\frac {69} {14}$,1)
А теперь как-то нужно найти базис подпространства $L^\bot$?

Добавлено спустя 7 минут 23 секунды:

Нужно записать матрицу по столбцам из векторов b и расширять по-очередно векторами ФСР , решая, мы найдем координаты базиса подпространства $L^\bot$? Так?

Добавлено спустя 55 минут 17 секунд:

Чувствую,что я ерунду написал. Нужно созать матрицу по строкам из векторов b и найти для них ФСР ?

[Brukvalub]

Обратите внимание, что сами уравнения системы в случае стандартного скалярного произведения задают условия ортогональности пространства решений множеству векторов, образующих матрицу системы.

[Матика]

Т.е. $3a_1-4a_2+8a_3-3a_4$=0

Добавлено спустя 3 минуты 53 секунды:

Извините, это уже другую задачу решаю.
Ответ : $6x_1+2x_2+x_3+27x_4$=0

Добавлено спустя 2 часа 17 минут 9 секунд:

Подскажите пожалуйста. Если система состоит из двух уравнений
$2x_1+x_2+2x_3+3x_5$=0
$3x_1+2x_2+4x_3-x_4+9x_5$=0,
то для нахождения базиса подпространства $L^\bot$ достаточно использовать определение скалярного произведения векторов и записать
$6x_1+2x_2+8x_3+27x_5$?