Найти порядок подгруппы группы и её центр.

[Orkimed]

Здравсвуйте. Нужна помощь. Повторяю Алгебру. Никак не получается составить подгруппу в $S_5$ на подстановках (125) и (245). Подстановки четные, значит $H\subset A_4$, так как 3 в обеих подстановках остается на месте. Мощность множества $A_4$ равна $\frac{1}{2}\cdot n!$, т.е 12.
Тут степени больше. Получается ерунда. Дайте совет, как тут справиться.

Ту же самую задачу для $S_4$ на $\delta=(1234), \tau=(13)$ я смог решить. Подгруппа получилась порядка 8 $H = \{e,\delta,\tau,\delta^2,\delta^3,\tau,\delta\cdot\tau,\delta^2\cdot\tau,\delta^3\cdot\tau\}$, а $Z(H)=\{e,\delta^2\}$

[VAL]

Orkimed в сообщении #1166903 писал(а):

Никак не получается составить подгруппу в $S_5$ на подстановках (125) и (245). Подстановки четные, значит $H\subset A_4$, так как 3 в обеих подстановках остается на месте. Мощность множества $A_4$ равна $\frac{1}{2}\cdot n!$, т.е 12.

До этого момента все логично.
Вы показали, что порядок искомой подгруппы не больше 12 (а значит, делитель 12). До окончательного решения остался один шаг.

Цитата:

Тут степени больше. Получается ерунда.

А этого замечания я не понял.

[Orkimed]

VAL
Я имел ввиду, что в прошлом задании у меня получилось явно получить элемент центра $\tau\cdot\sigma^2=\sigma^2\cdot\tau$. А здесь подобного получить не удалось.
В подгруппу $H=\{e,\tau,\tau^2,\sigma,\sigma^2\}$ это гарантированно.

[VAL]

Orkimed в сообщении #1166911 писал(а):

VAL
Я имел ввиду, что в прошлом задании у меня получилось явно получить элемент центра $\tau\cdot\sigma^2=\sigma^2\cdot\tau$. А здесь подобного получить не удалось.

Центр бывает и тривиальным.

Цитата:

В подгруппу $H=\{e,\tau,\tau^2,\sigma,\sigma^2\}$ это гарантированно.

. А еще $\tau\sigma$ и обратный к нему. Осталось сделать вывод.

PS: Знак равенства неуместен. Там включение.

[Orkimed]

VAL
$H=\{ e, \tau, \tau^2, \sigma, \sigma^2, \tau\sigma, \sigma^2\tau^2\}$, их 7, а значит недоукомплектовано. Их должно быть 12. Но как я не старался, составить подгруппу из 12 элементов мне не удалось.
P.S 6 не может быть. Так как у $A_4$ вроде её не существует.

[Brukvalub]

А где, скажем, $\sigma^2\tau$ и почему группа стала коммутативной?

[VAL]

Orkimed в сообщении #1167040 писал(а):

VAL
$H=\{ e, \tau, \tau^2, \sigma, \sigma^2, \tau\sigma, \sigma^2\tau^2\}$, их 7, а значит недоукомплектовано. Их должно быть 12. Но как я не старался, составить подгруппу из 12 элементов мне не удалось.

Разумеется 12. Показано, что порядок группы больше 6 и одновременно делит 12. Значит, 12.
Найти остальные элементы не проблема.
Можно просто перемножать имеющиеся.
А можно задуматься и понять, что в группе должно быть 8 циклов длины 3 (именно столько можно составить из 4-х элементов), 3 произведения независимых транспозиций (тоже все, которые можно получить на множестве из 4-х элементов) и, разумеется нейтральный элемент.

[Orkimed]

VAL
$H=\{ e,\tau,\tau^2,\sigma,\sigma^2,\tau\sigma,\sigma^2\tau^2,\sigma^2\tau,\tau^2\sigma,\tau^2\sigma^2,\sigma\tau\}$ получается 11. На 12 место нужно найти элемент,который сам себе обратный. Этого мне не удается сделать.
P.S В прошлом задании было так красиво, каждый к себе обратный. А тут гадость. Думал, что разобрался, ан нет.

[Brukvalub]

А почему рассматриваются только парные произведения?

[Orkimed]

Brukvalub
Потому что другого способа я не знаю. Пытался вытаскивать что-либо из $(\sigma\tau)^3=e$ (Я так делал в $S_4$), путем умножения справа и слева на что-нибудь, но это не дало результатов.

[Brukvalub]

Ну, например, $\sigma\tau\sigma$ чем плох?

[Orkimed]

Brukvalub
а по какому принципу получать циклы длины 3?
P.S Очень многое нам на семинарах не рассказывали. Задания было проще в разы.

[VAL]

Orkimed в сообщении #1167045 писал(а):

VAL
$H=\{ e,\tau,\tau^2,\sigma,\sigma^2,\tau\sigma,\sigma^2\tau^2,\sigma^2\tau,\tau^2\sigma,\tau^2\sigma^2,\sigma\tau\}$ получается 11. На 12 место нужно найти элемент,который сам себе обратный. Этого мне не удается сделать.

Выписывайте элементы в виде перестановок, записанных произведением независимых циклов. Для удобства каждый цикл начинайте с меньшего числа, а из двух независимых циклов (они, разумеется, коммутируют) раньше пишите тот, у которого первый элемент меньше. Тогда запись станет однозначной.
При такой записи Вы сразу увидите, какого элемента не хватает.

Цитата:

P.S В прошлом задании было так красиво, каждый к себе обратный. А тут гадость.

Такого свойства среди аксиом группы нет

Кстати, советую разобраться с вопросом: как найти порядок элемента группы перестановок, записанного в виде произведения независимых циклов. Это способствует пониманию.

[Orkimed]

Подгруппу нашёл. $H= \left\lbrace e, \tau, \tau^2 , \sigma, \sigma^2,\tau\sigma,(\tau\sigma)^2,\sigma\tau,(\sigma\tau)^2, \tau\sigma^2, \tau^2\sigma,\tau\sigma\tau\right\rbrace$
Из хороших элементов нашёл, $\tau^2\sigma^2=(\tau\sigma)^2, \sigma^2\tau^2=(\sigma\tau)^2$ Как правильно искать центр? Перебрать же все не вариант.

[VAL]

Orkimed в сообщении #1172287 писал(а):

Подгруппу нашёл. $H= \left\lbrace e, \tau, \tau^2 , \sigma, \sigma^2,\tau\sigma,(\tau\sigma)^2,\sigma\tau,(\sigma\tau)^2, \tau\sigma^2, \tau^2\sigma,\tau\sigma\tau\right\rbrace$

Это верно. Хотя через запись элементов в виде произведения независимых циклов все гораздо быстрее удобнее и нагляднее.

Цитата:

Из хороших элементов нашёл, $\tau^2\sigma^2=(\tau\sigma)^2, \sigma^2\tau^2=(\sigma\tau)^2$

Не знаю, чем хороши эти элементы. Зато знаю, что приведенные равенства не верны.

Цитата:

Как правильно искать центр? Перебрать же все не вариант.

В данном случае - вполне себе вариант. Все заканчивается на втором шаге перебора. Если Вы все же перейдете к цикловой записи, это станет очевидным.