Целые числа в арифметической прогрессии

[Ktina]

Дана арифметическая прогрессия из 2017 вещественных чисел.
а) Сколько в ней может быть целых чисел, если известно, что их не меньше 1000?
б) А если меньше 1000?

[lopkityu]

Рассмотрим последовательность дробных частей этих чисел. Если в нашей прогрессии присутствуют хотя бы два целых числа, то легко видеть, что указанная последовательность периодичная. Пусть $ T $ - период, тогда среди любых $ kT $ последовательных членов прогрессии есть ровно $ k $ целых, значит всего их может быть $ [\frac{2017}{T}] $ или $ [\frac{2017}{T}]+1 $. Итого возможные варианты: все целые числа от 0 до 70 включительно, 72, 73, 74, 75, 77, 78, 80, 81, 84, 85, 87, 88, 91, 92, 96, 97, 100, 101, 106, 107, 112, 113, 118, 119, 126, 127, 134, 135, 144, 145, 155, 156, 168, 169, 183, 184, 201, 202, 224, 225, 252, 253, 288, 289, 336, 337, 403, 404, 504, 505, 672, 673, 1008, 1009, 2017.

[Ktina]

lopkityu
Большое спасибо!