Классическая задача про втягивающийся диэлектрик

[StaticZero]

Широко известная, как я понял, задача, которую предлагают всем, кто изучает электричество.

Цитата:

Нижние части пластин плоского конденсатора ёмкости $C$ и заданных размеров погружают в жидкий диэлектрик с величиной диэлектрической проницаемости $\varepsilon$ и плотностью $\rho$. На какую высоту поднимется диэлектрик, если
а) конденсатор зарядили напряжением $U$, отключили и опустили в диэлектрик;
б) конденсатор опустили в диэлектрик и включили в сеть с напряжением $U$.

Изменением уровня диэлектрика в окружающей ванне пренебречь.

Пытаюсь разрешить задачу в варианте б). Нарисовал схему.

(Схема)

Будем представлять процесс всасывания диэлектрика как изменение ёмкостей конденсаторов $C_1$ и $C_2$, соединённых параллельно. Напряжение на конденсаторах одинаковое и поддерживается неизменным с помощью батарейки.

Пусть в данный момент уровень диэлектрика относительно общего уровня $x$ (положительный, если диэлектрик выше в конденсаторе и минус в противном случае). Пусть теперь этот уровень изменили на $\mathrm dx$. Обозначим как $a$ расстояние между обкладками обоих конденсаторов. Приращение энергии системы запишется так:

$$ \mathrm dW = \dfrac{\rho g}{2} \ \mathrm d(V x) + \dfrac{U^2}{2} \big(\mathrm dC_1 + \mathrm dC_2\big) + \mathrm dA, $$

где $\mathrm dA$ — элементарная работа батарейки по перемещению некоторого количества электричества, $V$ — объём, занятый диэлектриком.

Найдём элементарные изменения ёмкостей конденсаторов.

$$ \begin{align} C_1 = \dfrac{\varepsilon_0 S_1}{a}, \qquad &\mathrm dC_1 = \dfrac{\varepsilon_0 \ \mathrm dS_1}{a} = -\dfrac{\varepsilon_0 \ell \ \mathrm dx}{a}, \\ C_2 = \dfrac{\varepsilon \varepsilon_0 S_2}{a}, \qquad &\mathrm dC_2 = \dfrac{\varepsilon \varepsilon_0 \ \mathrm dS_2}{a} = \dfrac{\varepsilon \varepsilon_0 \ell \ \mathrm dx}{a}, \end{align} $$

откуда $\mathrm dC_2 = -\varepsilon \ \mathrm dC_1$ (здесь $\ell$ — длина конденсатора).

Изменение ёмкости соотносится с прошедшим зарядом следующим образом:

$$ \mathrm dq_2 = U \ \mathrm dC_2 = - \varepsilon U \ \mathrm dC_1 = -\varepsilon \ \mathrm dq_1. $$

Заряды прошли как на первый конденсатор, так и на второй. Тогда общий заряд $\mathrm dQ = \mathrm dq_1 + \mathrm dq_2 = \mathrm dq_1 (1 - \varepsilon)$, и работа батарейки

$$ \mathrm dA = U \ \mathrm dQ = - (\varepsilon - 1) U \ \mathrm dq_1 = - (\varepsilon - 1) U^2 \ \mathrm dC_1 = (\varepsilon - 1) U^2 \dfrac{\varepsilon_0 \ell}{a} \ \mathrm dx. $$

Теперь найдём $\mathrm d(Vx) = \mathrm d(\ell x \cdot a x) = 2 \ell a x \ \mathrm dx$ и общее приращение энергии:

$$ \mathrm dW = \rho g \ell a x \ \mathrm dx + \dfrac{U^2}{2} \dfrac{\varepsilon_0 \ell \ \mathrm dx}{a} (\varepsilon - 1) + (\varepsilon - 1) U^2 \dfrac{\varepsilon_0 \ell \ \mathrm dx}{a} = \rho g \ell a x \ \mathrm dx + \dfrac{3U^2}{2} \dfrac{\varepsilon_0 \ell \ \mathrm dx}{a} (\varepsilon - 1). $$

Разделив на $\mathrm dx$, найдём производную, которая обращается в ноль в точке

$$ x = - \dfrac{3 U^2 \varepsilon_0(\varepsilon - 1)}{2 \rho g a^2}, $$

то есть, диэлектрик из пространства конденсатора выталкивается.

Преподаватель сказал, что тройки в ответе быть никак не может, и я "двоечник". А где моя ошибка? Подскажите, пожалуйста.

[warlock66613]

StaticZero в сообщении #1164201 писал(а):

Приращение энергии системы запишется так:

$$ \mathrm dW = \dfrac{\rho g}{2} \ \mathrm d(V x) + \dfrac{U^2}{2} \big(\mathrm dC_1 + \mathrm dC_2\big) + \mathrm dA, $$

Я не уверен, но вам не кажется, что вы здесь одну и ту же величину дважды присчитали?

[StaticZero]

Вы про то, что $\mathrm dA = \dfrac{U^2}{2} \big(\mathrm dC_1 + \mathrm dC_2\big)$? Честно — не знаю. Вот Тамм пишет: [с. 90, Основы теории электричества]

Цитата:

Таким образом, сопровождающие перемещение обкладок конденсатора изменени его электрической энергии при $Q = \operatorname{const}$ и при $U = \operatorname{const}$ равны по величине, но противоположны по знаку. С другой стороы, ввиду соотношения

$$ Q = CU, $$

изменение ёмкости $C$ при постоянном $U$ должно сопровождаться изменением заряда конденсатора $Q$

$$ \delta Q = U \ \delta C, $$

то есть перенесением заряда $\delta Q$ с одной обкладки конденсатора на другую. При прохождении этого заряда $\delta Q$ через включённый между обкладками конденсатора гальванический элемент химическая энергия этого элемента, как мы увидим в гл. III, уменьшается, а ЭДС элемента $\mathcal E$ совершает работу $A = \mathcal E \cdot \delta Q$.

В разомкнутой цепи, состоящей из элемента и конденсатора,

$$ \mathcal E = U, $$

и, стало быть,

$$ A = U \ \delta Q = U^2 \ \delta C, $$

или ввиду $\eqno(18.4)$,

$$A = A_{\mathrm{pond}} + \left.\delta W\right|\limits_{U = \operatorname{const}}.$$

Таким образом, при $U = \operatorname{const}$ работа $A_\mathrm{pond}$ пондеромоторных сил поля совершается не за счёт энергии поля, а за счёт химической энергии гальванического элемента (...). В частности, положительная работа сил поля сопровождается приращением электрической энергии, происходящим также за счёт энергии гальванического элемента.

(адаптация обозначений моя; рассматривалась задача о раздвижении обкладок одного конденсатора).

Как я понял, одно и тоже я не учитываю дважды. Но я не уверен, на самом деле, до конца.

[warlock66613]

StaticZero в сообщении #1164217 писал(а):

Вы про то, что $\mathrm dA = \dfrac{U^2}{2} \big(\mathrm dC_1 + \mathrm dC_2\big)$?

Вроде того.

[DimaM]

StaticZero в сообщении #1164201 писал(а):

А где моя ошибка? Подскажите, пожалуйста.

Правильно вместо работы батарейки писать обратное ей по знаку уменьшение энергии (заряд $\delta Q$ уменьшает свой потенциал на $U$). Тогда получится без тройки и с правильным знаком.
А если писать через электрическое давление $\dfrac{\varepsilon_0E^2}{2}$ поперек силовых линий, то решается совсем просто.

[StaticZero]

DimaM в сообщении #1164397 писал(а):

Правильно вместо работы батарейки писать обратное ей по знаку уменьшение энергии (заряд $\delta Q$ уменьшает свой потенциал на $U$). Тогда получится без тройки и с правильным знаком.

Не очень понял, если честно. Не могли б вы пояснить чуть подробнее?

[DimaM]

StaticZero в сообщении #1165211 писал(а):

Не могли б вы пояснить чуть подробнее?

Работа батарейки - это уменьшение ее потенциальной энергии. То есть $\delta W_{\mbox{batt}}=-{\cal E}\delta Q$, где $\delta Q$ - изменение заряда на конденсаторе (заряд, вышедший из батарейки). Тогда полное изменение энергии $\delta W=\delta W_{\mbox{batt}}+\delta W_C+\rho glax\delta x=0$ возле положения равновесия. Выражая все величины через $x$, найдем искомую высоту.
Через электрические давления проще, хотя сами эти давления довольно мутные.

[StaticZero]

DimaM в сообщении #1165287 писал(а):

Работа батарейки - это уменьшение ее потенциальной энергии. То есть $\delta W_{\mbox{batt}}=-{\cal E}\delta Q$, где $\delta Q$ - изменение заряда на конденсаторе

Хм, я всегда был уверен, что работа батарейки = работа сторонних сил по перемещению заряда $\mathrm dQ$ на разности потенциалов, равной ЭДС батарейки...

[DimaM]

StaticZero в сообщении #1165404 писал(а):

Хм, я всегда был уверен, что работа батарейки = работа сторонних сил по перемещению заряда $\mathrm dQ$ на разности потенциалов, равной ЭДС батарейки...

Ну да. Эта работа равна минус изменению внутренней энергии батарейки (я выше писал про потенциальную, наверно, внутреннюю правильнее).
Ровно так же, как работа силы тяжести по перемещению падающего камня равна минус изменению его потенциальной энергии.

[Munin]

(Замечание в сторону. После школы - первых курсов довольно часто формируется такое впечатление, что "внутренняя энергия" - это такой синоним для "тепловая энергия". Это, конечно, неправильно. И в данном случае может привести к особенно неприятному недопониманию. Поэтому хочу уточнить, что в случае, например, гальванического элемента энергия батарейки - химическая. А вот тепловую превратить в электрическую... в принципе можно, но к батарейкам это не относится.)

[StaticZero]

DimaM в сообщении #1165405 писал(а):

Ну да. Эта работа равна минус изменению внутренней энергии батарейки (я выше писал про потенциальную, наверно, внутреннюю правильнее).

А. В смысле, что стороннему моторчику нужно против поля работать и совершать работу $- \mathcal U \ \mathrm dQ$, если переносим заряд $\mathrm dQ$ с отрицательной клеммы на положительную, между которыми напряжение $\mathcal U$?

[DimaM]

StaticZero в сообщении #1165417 писал(а):

В смысле, что стороннему моторчику нужно против поля работать и совершать работу $- \mathcal U \ \mathrm dQ$, если переносим заряд $\mathrm dQ$ с отрицательной клеммы на положительную, между которыми напряжение $\mathcal U$?

Я не совсем понял вашу фразу.

[StaticZero]

Химическая энергия батарейки затрачивается на то, чтобы перенести заряд $\mathrm dQ$ (= тот, который протекает через цепь) с отрицательной клеммы на положительную, между которыми есть напряжение $\mathcal U$. Так как работа совершается против поля, значит, будем иметь $\mathrm dA = - \mathcal U \ \mathrm dQ$, а не плюс.

[DimaM]

StaticZero в сообщении #1165465 писал(а):

Так как работа совершается против поля, значит, будем иметь $\mathrm dA = - \mathcal U \ \mathrm dQ$, а не плюс.

Эдак "работа" получится отрицательной.