Ближайшая к кривой точка

[SurovM]

Я ищу формулировку теоремы, желательно в англоязычной литературе. Суть её в следующем:

Есть гладкая кривая

$$\gamma : \mathbb{R} \to \mathbb{E}^n .$$

Есть отображение

$$\tau(x) = \arg \min_t \left\Vert x - \gamma(t) \right\Vert .$$

Если $\left\Vert x - \gamma(t) \right\Vert < r$, то отображение $\tau(x)$ однозначно определено и является гладким. $r$ -- минимум модуля радиуса кривизны кривой $\gamma$.

[worm2]

Непохоже, чтобы была прямо вот в такой формулировке теорема.
Например, если $\gamma$ периодична, то \tau$ определяется лишь с точностью до периода.
Или что-то нужно ещё на кривую наложить, или одно из двух.

[SurovM]

worm2 в сообщении #1164732 писал(а):

Непохоже, чтобы была прямо вот в такой формулировке теорема.
Например, если $\gamma$ периодична, то \tau$ определяется лишь с точностью до периода.
Или что-то нужно ещё на кривую наложить, или одно из двух.

Пусть будет с дополнительными условиями.

[DeBill]

SurovM
А чего бы это и не доказать?
Пишем условие $\frac{d}{dt}\left\lVert x-\gamma(t)\right\rVert^2 =0$.
К полученному уравнению применяем теорему о неявной...
А утверждение будет выглядеть примерно так:
Пусть $r_0 = dist(x_0,\gamma) = \left\lVert x_0-\gamma(t_0)\right\rVert$, $r_0 <r(t_0)$, где $r(t_0)$ - радиус кривизны в точке $\gamma(t_0)$. Тогда в некоторой окрестности точки $x_0$ Ваша функция $t=t(x) - $определена и хороша.
А вот глобально - ничего хорошего не будет. Впрочем, если потребовать отсутствие самопересечений (и даже "сближений" на расстояние меньшее $\varepsilon$, $\varepsilon$ - минимум ваших кривых радиусов), то в $\varepsilon$-окрестности кривой, наверное, будет и глобально - склеится из локальных...
Литература - увы...

[SurovM]

DeBill Не хочу статью перегружать, и так уже много лишнего.

-- 31.10.2016, 22:32 --

Самопересечений там не будет по теореме о единственности решений. А вот сближение -- да, я об этом не подумал.. Еще и проверить сложно

[DeBill]

SurovM в сообщении #1164795 писал(а):

Не хочу статью перегружать, и так уже много лишнего.

А, я так и подумал.
Может, поискать вот где:
Если по нормали к кривой отложить отрезок длины (Вашей минимальной $r$), то и получится Ваша окрестность, в которой все должно быть хорошо (координаты в ней - точка кривой, откуда пришла нормаль, и расстояние до кривой. Первая координата - это и есть Ваша функция - если считать $t$ параметром на кривой.) Так вот, тогда утверждение можно сформулировать типа так: окрестность кривой диффеоморфна окрестности нулевого сечения в нормальном расслоении к кривой. Так что, может, где-то в дифгеометрии это и есть. Вам, правда, нужна конкретная окрестность...
Или - покопать там, где работают с волновыми фронтами (эволютами - эвольвентами). Это какая-то классика: когда на нормали откладывают радиус кривизны. Там возникают особенности - но они, видимо, все будут за пределами $r$- окрестности...

[CptPwnage]

В учебнике Lee "Introduction to Smooth manifolds" есть такое утверждение только в большей общности - то что ближайшая к многообразию точка живет в нормальном расслоении, что-то в таком духе.
https://www.cse.msu.edu/~zhangh40/mth/lee.pdf
Вернее задача, 6.2.