Разделить точки на сфере

[vlad_light]

У меня есть $n$-сфера с угловой(косинус) метрикой. Мне нужно разместить на ней точки так, чтоб расстояние между любыми двумя точками было не меньше некоторой (разумно) заданной константы $r$. Хотелось бы узнать, как изменяется количество точек с ростом $n$?
Например, при $r=1/2$ можно раскинуть $2(n+1)$ точек $\{\pm \mathbf e_i\}_{i=1}^{n+1}$ (интуиция подсказывает, что больше точек разместить не получится). Но меня больше интересует случай $r << 1/2$. Известно, что площадь поверхности сферы стремиться к $0$ при $n\to \infty$. Влияет ли этот факт на рост кол-ва точек с увеличением размерности?

(Оффтоп)

У меня задача: отобразить функции в точки на сфере так, чтоб образы функций одного класса имели в некоторой окрестности (в данном случае $r$) хотя бы одну точку из этого же класса и не содержали точки из других классов. Хочу узнать, чем руководствоваться при выборе $r$ и $n$.

[DeBill]

vlad_light в сообщении #1164667 писал(а):

У меня есть $n$-сфера с угловой(косинус) метрикой

Видимо, имеется в виду $n-$мерная сфера единичного радиуса со стандартной метрикой, индуцированной метрикой $\mathbb{R}^n$.

vlad_light в сообщении #1164667 писал(а):

при $r=1/2$ можно

Видимо, имеется в виду $r=1$. Дальнейшие Ваши рассуждения означают, видимо, что Вы собираетесь рассматривать шары с центрами в ваших точках радиуса $\frac{r}{2}$ - чтоб они не пересекались: это позволит получить оценку сверху на кол-во точек.

vlad_light в сообщении #1164667 писал(а):

Известно, что площадь поверхности сферы стремиться к $0$ при $n\to \infty$.

Единичной. Да. Однако, эту площадь придется делить на площадь "луночки", высекаемой на сфере малым шариком - а ее площадь еще более мала..... При четном $n=2k$, это отношение (при больших $n$ и малых $r$) примерно равно $\sqrt{\pi k}\frac{2^{2k+1}}{r^{2k}}$. Эта оценка представляется мне точной - по порядку величины (но с другим к-том, видимо). Попробуйте рассматривать плотные упаковки не на сфере, а - в обычном пространстве (сфера - в малом - почти плоская) - об этом должно быть в литературе...

[demolishka]

Пусть $M_{r}$ --- наибольшее число не пересекающихся шаров радиуса $r$, которые можно разместить на $n-1$ мерной сфере (Вы ее называете $n$-мерной). Известно (ищите около фрактальной размерности), что

$$\lim_{r \to 0+} \frac{\ln M_{r}}{\ln (1/r)}=n-1,$$

то есть $M_{r}=\left(\frac{1}{r}\right)^{n-1 +o(1)}$. Вроде бы, если оценивать эту величину в лоб конкретно для сферы, то можно получить что-то в духе $M_{r}=\left(\frac{1}{r}\right)^{n-1 } + o(1)$.

[vlad_light]

DeBill, demolishka вы ответили на мой вопрос чуть более, чем полностью. Премного благодарен!