Значения параметра, при которых есть рац. решения уравнения

[Tinky-Winky]

Уравнение очень похоже на возвратное:
$y^2=x^4+4a^2 x^3-2(1+2a+2a^2) x^2+4a^2 x+1$
И мне нужно найти его рациональные решения (x;y), либо доказать, что их нет при любом или каких-то определенных значениях параметра а.

Я воспользовался заменой $x+\frac{1}{x}=z, \frac{y}{x}=y'$, в результате чего у меня получилось;
$y'^2=z^2+4a^2 z-4(1+a+a^2)$
И не забываем, что для того, чтобы x был рациональным, дискриминант уравнения $x^2-zx+1=0$ должен быть квадратом рационального числа, т.е. $z^2-4=c^2$

Получается, нужно найти решения в рациональных a, z, c, y' системы двух диофантовых уравнений:
$1+a+a^2+a^4+\frac{y'^2}{4}=(\frac{z}{2}+a^2)^2$
$z^2-4=c^2$

Не знаю, насколько сложно это сделать, но меня интересует больше допустимые значения параметра а, при которых такие рациональные решения (x;y) будут возможны (или не возможны).

Заранее спасибо))

[DeBill]

Можно попробовать уравнение

Tinky-Winky в сообщении #1164544 писал(а):

;
$y'^2=z^2+4a^2 z-4(1+a+a^2)$

решить как квадратное относительно $a$. Это даст что-то типа "$a$ - рациональное плюс корень из другого рационального". Ну, а теперь попробовать - последовательно - восстановить по этим двум рациональным числа $z,c,x,y',y$....