Ещё одна конструкция вещественных чисел, минуя рациональные

[arseniiv]

…которую предлагают в этой статье (не впервые; история идеи там в конце в разделе 5). $(\mathbb R,+)$ строится как фактор группы почти эндоморфизмов* $\mathbb Z$ по группе ограниченных функций $\mathbb Z\to\mathbb Z$, потом добавляются порядок и умножение. Весьма приятная конструкция — может, кто-то ещё не видел.

* Почти эндоморфизм упорядоченной группы $G$ — это функция $f\colon G\to G$ такая, что множество $\{f(a+b) - f(a) - f(b) : a, b\in G\}$ ограничено. (В статье почему-то это «почти гомоморфизм», хотя определяется он только из $\mathbb Z$ в $\mathbb Z$, и только в приложении рассматриваются некоторые обобщения, где это действительно уже не эндоморфизмы.) Они образуют группу, если взять поточечное сложение.

[пианист]

Да, любопытно.
Дядя Вася ставил штакетник навеселе, получилось местами неровно.
Но т.к. мастерство не пропьешь, все-таки без совсем уж больших просветов.

[iifat]

Хм. И правда, интересно.

[arseniiv]

Не помню, написано там или это я видел в посте sigfpe (откуда и узнал о конструкции — но в нём ссылка на статью битая), «довольно канонические» представители $n\mapsto f(n)=\lfloor rn + c\rfloor$ вещественных чисел $r$ — это, в сущности, растеризованные прямые (хотя в графике $f$ могут быть дырки, если $|r|>1$).

[iifat]

arseniiv в сообщении #1163782 писал(а):

в графике $f$ могут быть дырки

Что, собственно, вы называете дыркой в точечной функции?

[arseniiv]

Можно взять граф с вершинами из всех точек графика и рёбрами между точками $(m,n),(m',n')$, когда $|m-m'|\leqslant1\wedge|n-n'|\leqslant1$. Тогда «в графике есть дырки» = «граф несвязный». Другое дело, что это никак не относится к конструкции.