Дано:
Доказать, что

при

в натуральных числах.
Доказательство:
это теорема Пифагора, где

и

катеты прямоугольного треугольника, а

его гипотенуза. Эта теорема справедлива для всех видов прямоугольных треугольников. Прямоугольные треугольники с целочисленными сторонами являются частью множества прямоугольных треугольников и называются пифагоровыми тройками. Они находятся по формуле:

,
где

,

,

, а

и

целые числа, причем

.
Объектами доказательства нашей теоремы будут именно эти треугольники. Мы не знаем

равно или не равно

, поэтому сначала найдем, при каких значениях

и

левая сторона выражения

будет равна правой.

(1)
............................
Справедливость этого выражения проверим по формуле для нахождения пифагоровых троек. Для этого заменим

на

, что одно и то же, и получим:
^{n-2}=(m^{2}+n^{2})^{2}(m^{2}+n^{2})^{n-2} $ $ [(m^{2}-n^{2})^{2}+(2mn)^{2}](m^{2}+n^{2})^{n-2}=(m^{2}+n^{2})^{2}(m^{2}+n^{2})^{n-2} $](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/9/d/29d73ff578b0d383992cc3a9e2dcfc7082.png)
.
Разделим обе части выражения на

и раскроем скобки. Получим:

или

.
Мы убедились, что выражение (1), является равенством, и что оно справедливо для всех пифагоровых троек.
Далее запишем выражение

в другом виде:

.
Найдем, при каких значениях

и

левая сторона выражения будет равна правой.

(2)
.............................

Справедливость этого выражения проверим по формуле для нахождения пифагоровых троек. Для этого заменим

на

, что одно и то же, и получим:
![$ (m^{2}-n^{2})^{2}x^{n-2}=[(m^{2}+n^{2})^{2}-(2mn)^{2}]x^{n-2} $ $ (m^{2}-n^{2})^{2}x^{n-2}=[(m^{2}+n^{2})^{2}-(2mn)^{2}]x^{n-2} $](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/2/2/022be424a8e6b534ea56d43458ab5ca282.png)
.
Разделим обе части на

и раскроем скобки. Получим:

или

.
Мы убедились,что выражение (2) является равенством и справедливо для всех пифагоровых троек.
Затем запишем выражение

так:

, найдем при каких значениях

и

левая сторона выражения будет равна правой.

(3)
..............................
Справедливость данного выражения проверим по формуле для нахождения пифагоровых троек.
Для этого заменим

на

, что одно и то же, и получим:
![$ (2mn)^{2}y^{n-2}=[(m^{2}+n^{2})^{2}-(m^{2}-n^{2})^{2}]y^{n-2} $ $ (2mn)^{2}y^{n-2}=[(m^{2}+n^{2})^{2}-(m^{2}-n^{2})^{2}]y^{n-2} $](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/e/7/8e722e2c12586f03549ac9e2c2363f1282.png)
.
Разделим обе части выражения на

и раскроем скобки. Получим:

или

.
Мы убедились,что выражение (3) является равенством и справедливо для всех пифагоровых троек.
Далее запишем выражение

в следующем виде:

и посмотрим, при каких значениях

левая сторона нашего выражения будет равна правой.
При

.
Заменим

на

и получим

или

.
Может быть равно, если

, но у нас

и

- стороны прямоугольного треугольника.
При
Заменим

на

и получим

.
При

.
Заменим

на

и получим

.
Может быть равно, если

, но не в нашем случае.
При

заменим

на

и получим

.
При

получим

.
При

получим

.
.....................................................................................................
или

.
Вывод: 
только при

.