Сумма n-х степеней х и y не равна n-й степени z при n>2

[evgen.]

Дано: $ x^{n}+y^{n}=z^{n} $

Доказать, что $ x^{n}+y^{n} \neq z^{n} $ при $ n > 2 $ в натуральных числах.

Доказательство:
$ x^{2}+y^{2}=z^{2} $
это теорема Пифагора, где $ x $ и $ y $ катеты прямоугольного треугольника, а $ z $ его гипотенуза. Эта теорема справедлива для всех видов прямоугольных треугольников. Прямоугольные треугольники с целочисленными сторонами являются частью множества прямоугольных треугольников и называются пифагоровыми тройками. Они находятся по формуле:
$ (m^{2}-n^{2})+2mn=(m^{2}+n^{2})$,
где $ x=(m^{2}-n^{2}) $, $ y=2mn $, $ z=(m^{2}+n^{2}) $, а $ m $ и $ n $ целые числа, причем $ 0<n<m $.

Объектами доказательства нашей теоремы будут именно эти треугольники. Мы не знаем $ x^{n}+y^{n} $ равно или не равно $ z^{n} $, поэтому сначала найдем, при каких значениях $ x, y $ и $ z $ левая сторона выражения $ x^{n}+y^{n}=z^{n} $ будет равна правой.

$ z^{3}=z^{2}z $
$ z^{3}=(x^{2}+y^{2})z $
$ z^{4}=z^{2}z^{2} $
$ z^{4}=(x^{2}+y^{2})z^{2} $
$ z^{5}=z^{2}z^{3} $                      (1)
$ z^{5}=(x^{2}+y^{2})z^{3} $
............................
$ z^{n}=(x^{2}+y^{2})z^{n-2} $

Справедливость этого выражения проверим по формуле для нахождения пифагоровых троек. Для этого заменим $ z^{n} $ на $ z^{2}z^{n-2} $, что одно и то же, и получим:

$ [(m^{2}-n^{2})^{2}+(2mn)^{2}](m^{2}+n^{2})^{n-2}=(m^{2}+n^{2})^{2}(m^{2}+n^{2})^{n-2} $.

Разделим обе части выражения на $ (m^{2}+n^{2})^{n-2} $ и раскроем скобки. Получим:
$ m^{4}+2m^{2}n^{2}+n^{4}=m^{4}+2m^{2}n^{2}+n^{4} $ или $ 0=0 $.

Мы убедились, что выражение (1), является равенством, и что оно справедливо для всех пифагоровых троек.

Далее запишем выражение $ x^{n}+y^{n}=z^{n} $ в другом виде: $ x^{n}=z^{n}-y^{n} $.

Найдем, при каких значениях $ x, y $ и $ z $ левая сторона выражения будет равна правой.

$ x^{2}=z^{2}-y^{2} $
$ x^{3}=x^{2}x $
$ x^{3}=(z^{2}-y^{2})x $
$ x^{4}=(z^{2}-y^{2})x^{2} $
$ x^{5}=(z^{2}-y^{2})x^{3} $            (2)
.............................
$ x^{n}=(z^{2}-y^{2})x^{n-2} $

Справедливость этого выражения проверим по формуле для нахождения пифагоровых троек. Для этого заменим $ x^{n} $ на $ x^{2}x^{n-2} $ , что одно и то же, и получим:
$ (m^{2}-n^{2})^{2}x^{n-2}=[(m^{2}+n^{2})^{2}-(2mn)^{2}]x^{n-2} $.

Разделим обе части на $ x^{n-2} $ и раскроем скобки. Получим:
$ m^{4}-2m^{2}n^{2}+n^{4}=m^{4}-2m^{2}n^{2}+n^{4} $ или $ 0=0 $.

Мы убедились,что выражение (2) является равенством и справедливо для всех пифагоровых троек.

Затем запишем выражение $ x^{n}+y^{n}=z^{n} $ так: $ y^{n}=z^{n}-x^{n} $, найдем при каких значениях $ x, y $ и $ z $ левая сторона выражения будет равна правой.
$ y^{2}=z^{2}-x^{2} $
$ y^{3}=y^{2}y $
$ y^{3}=(z^{2}-x^{2})y $
$ y^{4}=(z^{2}-x^{2})y^{2} $
$ y^{5}=(z^{2}-x^{2})y^{3} $            (3)
..............................
$ y^{n}=(z^{2}-x^{2})y^{n-2} $

Справедливость данного выражения проверим по формуле для нахождения пифагоровых троек.
Для этого заменим $ y^{n} $ на $ у^{2}y^{n-2} $, что одно и то же, и получим:
$ (2mn)^{2}y^{n-2}=[(m^{2}+n^{2})^{2}-(m^{2}-n^{2})^{2}]y^{n-2} $.
Разделим обе части выражения на $ y^{n-2} $ и раскроем скобки. Получим:
$ 4m^{2}n^{2}=4m^{2}n^{2} $ или $ 0=0 $.

Мы убедились,что выражение (3) является равенством и справедливо для всех пифагоровых троек.

Далее запишем выражение $ x^{n}+y^{n}=z^{n} $ в следующем виде:
$ (z^{2}-y^{2})x^{n-2}+(z^{2}-x^{2})y^{n-2}=(x^{2}+y^{2})z^{n-2} $
и посмотрим, при каких значениях $ n $ левая сторона нашего выражения будет равна правой.

При $ n=1 $            $ \frac{z^{2}-y^{2}}{x}+\frac{z^{2}-x^{2}}{y}=\frac{x^{2}+y^{2}}{z} $.

Заменим $ z^{2} $ на $ x^{2}+y^{2} $ и получим $ x+y=\frac{x^{2}+y^{2}}{z} $ или $ xz + yz \neq xx+yy $.

Может быть равно, если $ x=y=z $ , но у нас $ x, y $ и $ z $ - стороны прямоугольного треугольника.

При $ n=2 $            $ z^{2}-y^{2}+z^{2}-x^{2} = x^{2}+y^{2} $

Заменим $ z^{2} $ на $ x^{2}+y^{2} $ и получим $ x^{2}+y^{2}=x^{2}+y^{2} $.

При $ n=3 $            $ (z^{2}-y^{2})x+(z^{2}-x^{2})y=(x^{2}+y^{2})z $.

Заменим $ z^{2} $ на $ x^{2}+y^{2} $ и получим $ xxx + yyy\neq xxz+yyz $.

Может быть равно, если $ x=y=z $, но не в нашем случае.

При $ n=4 $ заменим $ z^{2} $ на $ x^{2}+y^{2} $ и получим $ xxxx + yyyy \neq xxzz+yyzz $.

При $ n=5 $ получим $ xxxxx + yyyyy \neq xxzzz+yyzzz $.

При $ n=6 $ получим $ xxxxxx + yyyyyy \neq xxzzzz+yyzzzz $.

.....................................................................................................

$ x^{n}+y^{n} = (x^{2}+y^{2})z^{n-2} $
или $ x^{2} x^{n-2} + y^{2} y^{n-2} \neq x^{2} z^{n-2} + y^{2} z^{n-2} $.

Вывод: $ x^{n}+y^{n}=z^{n} $ только при $ n=2 $.

[Brukvalub]

evgen. в сообщении #1163397 писал(а):

Объектами доказательства нашей теоремы будут именно эти треугольники.

Дальше можно не читать.

[vasili]

Уважаемый evqen! Да пифагоровы числа не удовлетворяют уравнению ВТФ, что доказывается очень просто, но требуется доказать, что не существует иных троек натуральных чисел, удовлетворяющих уравнению ВТФ.

[strimer]

//Они находятся по формуле:
$ (m^{2}-n^{2})+2mn=(m^{2}+n^{2})$//

Это неверно.

[evgen.]

Учитывая замечания, предлагаю доказательство в следующем виде:

Доказательство:

$ x^{2}+y^{2}=z^{2} $ это теорема Пифагора, где x и y катеты прямоугольного
треугольника, а z его гипотенуза. Эта теорема справедлива для всех видов
прямоугольных треугольников.

Мы не знаем $ x^{n} + y^{n} = z^{n} $ или $ x^{n} + y^{n} \neq z^{n} $, поэтому сначала найдем,
при каких значениях x, y и z, левая сторона выражения $ x^{n}+y^{n}=z^{n} $ будет равна правой.

$ z^{3}=z^{2}z $
$ z^{3}=(x^{2}+y^{2})z $
$ z^{4}=z^{2}z^{2} $
$ z^{4}=(x^{2}+y^{2})z^{2} $
$ z^{5}=z^{2}z^{3} $
$ z^{5}=(x^{2}+y^{2})z^{3} $           (1)
............................
$ z^{n}=(x^{2}+y^{2})z^{n-2} $


Далее запишем выражение $ x^{n}+y^{n}=z^{n} $ в другом виде: $ x^{n}=z^{n}-y^{n} $.
Найдем, при каких значениях x, y и z, левая сторона выражения будет равна правой.

$ x^{2}=z^{2}-y^{2} $
$ x^{3}=x^{2}x $
$ x^{3}=(z^{2}-y^{2})x $
$ x^{4}=(z^{2}-y^{2})x^{2} $
$ x^{5}=(z^{2}-y^{2})x^{3} $          (2)
.............................
$ x^{n}=(z^{2}-y^{2})x^{n-2} $


Затем запишем выражение $ x^{n}+y^{n}=z^{n} $ так: $ y^{n}=z^{n}-x^{n} $; - и найдем
при каких значениях x, y и z, левая сторона выражения будет равна правой.

$ y^{2}=z^{2}-x^{2} $
$ y^{3}=y^{2}y $
$ y^{3}=(z^{2}-x^{2})y $
$ y^{4}=(z^{2}-x^{2})y^{2} $
$ y^{5}=(z^{2}-x^{2})y^{3} $           (3)
..............................
$ y^{n}=(z^{2}-x^{2})y^{n-2} $


Далее запишем выражение $ x^{n}+y^{n}=z^{n} $ в следующем виде:
$ (z^{2}-y^{2})x^{n-2}+(z^{2}-x^{2})y^{n-2}=(x^{2}+y^{2})z^{n-2} $ и посмотрим, при
каких значениях n, левая сторона нашего выражения будет равна правой.

При $ n=1 $            $ \frac{z^{2}-y^{2}}{x}+\frac{z^{2}-x^{2}}{y}=\frac{x^{2}+y^{2}}{z} $.
Заменим $ z^{2} $ на $ x^{2}+y^{2} $ и получим $ x+y=\frac{x^{2}+y^{2}}{z} $
или $ xz+yz \neq xx+yy $.
Может быть равно, если $ x=y=z $, но у нас x, y и z - стороны прямоугольного треугольника.

При $ n=2 $            $ z^{2}-y^{2}+z^{2}-x^{2}=x^{2}+y^{2} $
Заменим $ z^{2} $ на $ x^{2}+y^{2} $ и получим $ x^{2}+y^{2}=x^{2}+y^{2} $.

При $ n=3 $            $ (z^{2}-y^{2})x+(z^{2}-x^{2})y=(x^{2}+y^{2})z $
Заменим $ z^{2} $ на $ x^{2}+y^{2} $ и получим $ xxx+yyy \neq xxz+yyz $.
Может быть равно, если $ x=y=z $, но не в нашем случае.

При $ n=4 $ заменим $ z^{2} $ на $ x^{2}+y^{2} $ и получим $ xxxx+yyyy \neq xxzz+yyzz $.
При $ n=5 $                                                          $ xxxxx+yyyyy \neq xxzzz+yyzzz $.
При $ n=6 $                                                         $ xxxxxx+yyyyyy \neq xxzzzz+yyzzzz $.
.........................................
$ x^{n}+y^{n}=(x^{2}+y^{2})z^{n-2} $ или
$ x^{2}x^{n-2}+y^{2}y^{n-2} \neq x^{2}z^{n-2}+y^{2}z^{n-2} $

Вывод: $ x^{n}+y^{n}=z^{n} $ только при n=2 $.

[Brukvalub]

evgen. в сообщении #1163835 писал(а):

Учитывая замечания, предлагаю доказательство в следующем виде:

На Востоке давно заметили, что от слова "халва" во рту слаще не становится. Сколько не маскируй бред другими словами, он остается бредом.

[evgen.]

Уважаемый Brukvalub,поясните пожалуйста с какого места начинается бред и в чем он заключается.Может быть я с Вами соглашусь?

[Brukvalub]

Про суть бреда все уже написано выше, и написанное в вашем согласии не нуждается.

[shwedka]

evgen. в сообщении #1163835 писал(а):

Учитывая замечания, предлагаю доказательство в следующем виде:

Доказательство:

$ x^{2}+y^{2}=z^{2} $ это теорема Пифагора, где x и y катеты прямоугольного
треугольника, а z его гипотенуза. Эта теорема справедлива для всех видов
прямоугольных треугольников.

Мы не знаем $ x^{n} + y^{n} = z^{n} $ или $ x^{n} + y^{n} \neq z^{n} $, поэтому сначала найдем,
при каких значениях x, y и z, левая сторона выражения $ x^{n}+y^{n}=z^{n} $ будет равна правой.

$ z^{3}=z^{2}z $
$ z^{3}=(x^{2}+y^{2})z $

В последней строке ошибка. Вам на нее уже указывали. Вы безосновательно воспользовались уравнением Пифагора.

vasili в сообщении #1163441 писал(а):

Да пифагоровы числа не удовлетворяют уравнению ВТФ, что доказывается очень просто, но требуется доказать, что не существует иных троек натуральных чисел, удовлетворяющих уравнению ВТФ.

[evgen.]

Shwedka -Вы пишете,что в уравнении $z\hat{3}=(x\hat{2}+y\hat{2})z$ есть ошибка.И что там ошибочного.С помощью этого уравнения один объем раскладывается на два.Например куб раскладывается на две прямых призмы и т.д.По этой теме у меня есть отдельная статья.

-- 30.10.2016, 10:42 --

Shwedka- В комментарии(сокращенный вариант статьи) от 28,10,2016 г.,18:20,я не упоминаю о пифагоровых числах.

[cmpamer]

evgen. в сообщении #1164298 писал(а):

Например куб раскладывается на две прямых призмы и т.д.По этой теме у меня есть отдельная статья.

Уважаемый evgen.! Вы определитесь уже - что именно доказываете: теорему Пифагора с помощью ВТФ, или ВТФ с помощью теоремы Пифагора?

[iifat]

evgen. в сообщении #1164298 писал(а):

Вы пишете,что в уравнении $z\hat{3}=(x\hat{2}+y\hat{2})z$ есть ошибка.И что там ошибочного

«Не то чтоб ты не попал, Пятачок. Но ты не попал в шарик!»

evgen. в сообщении #1164298 писал(а):

В комментарии(сокращенный вариант статьи) от 28,10,2016 г.,18:20,я не упоминаю о пифагоровых числах

А, по-вашему, если мы не будем называть эти числа пифагоровыми, они тут же станут непифагоровыми? Осознайте ж наконец: если вы заменяете $z^2$ на $x^2+y^2$, то числа являют собой пифагорову тройку. И вы доказываете совсем-совсем другую теорему.

[evgen.]

Теорема Пифагора начинается и кончается второй степенью.Любая степень выше второй - это теорема Ферма.И как нет Пифагоровых чисел в уравнении$x\hat{2}+y\hat{2}=z\hat{2}$,так нет их и в уравнении $z\hat{3}=(x\hat{2}+y\hat{2})z$

[cmpamer]

evgen. в сообщении #1164390 писал(а):

Теорема Пифагора начинается и кончается второй степенью.Любая степень выше второй - это теорема Ферма.

А какое отношение евклидова аксиоматика (в частности - пятый постулат) имеет к ВТФ?

[evgen.]

Я имел в виду,что уравнение $x\hat{2}+y\hat{2}=z\hat{2}$ предусматривает все виды прямоугольных треугольников,а не только треугольники с целочисленными сторонами. Это дополнение к комментарию от 30,10,2016 16:42