Задачи, за решение которых на олимпиаде по случаю Дня математика и механика на матмехе УрГУ давалось наибольшее число баллов.
Сам я не оттуда и решений не знаю

.
Задача 8.
Убойная задача. Источник выдает последовательность независимых букв

и

с фиксированной вероятностью выдачи каждой из этих букв:

и

. Источник включили и он начал выдавать некоторую бесконечную последовательность этих букв. Букву

в этой последовательности будем называть отдельно стоящей, если в этой последовательности и слева, и справа от неё стоят буквы

. Доля отдельно стоящих букв

определяется, естественно, как предел

, где

— количество отдельно стоящих букв

в начальном отрезке этой последовательности из

штук букв. Как настроить источник, т. е. выбрать вероятность

, так, чтобы доля

была максимальной?
Задача 14.
Игорь Хальясмаа, выпускник матмеха 1985 года, живущий в городе Питтсбурге, просит помочь ему найти коэффициенты

в разложении единицы в «почти ряд Фурье»

на отрезке
![$[0,1]$ $[0,1]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/c/f/acf5ce819219b95070be2dbeb8a671e982.png)
, если

– последовательность положительных корней уравнения

, упорядоченных по возрастанию. Помогите Игорю!
Задача 21.
Ещё одна трудная задача. Пусть

– произвольное натуральное число. Докажите, что десятичную запись числа

можно дополнить цифрами слева и справа так, что получится десятичная запись простого числа. Объясните, почему десятичную систему счисления в этой задаче можно заменить любой другой — на ваш выбор и по вашему вкусу.
Задача 23.
Однажды где-то в бескрайнем Тихом океане эсминец засёк вражескую подводную лодку на расстоянии трёх километров от себя. Янки не на шутку струхнули, подлодка тут же погрузилась и ушла на полной скорости прямым курсом в неизвестном направлении! Но скорость нашего эсминца ровно в два раза больше скорости подлодки!! Существует ли такая траектория движения эсминца, которая гарантирует его прохождение через некоторое время точно над подводной лодкой?