2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Теорема о производной композиции.
Сообщение25.10.2016, 19:47 
Аватара пользователя


08/07/15
127
Ниже доказательство из учебника по анализу Рудина.

Изображение
Перепишу, как я понял, и в более удобных обозначениях.

Пусть $f$ дифференцируема в $x_0,$ $g$ дифференцируема в $y_0,$ $f(x_0)=y_0$.

$f(x)-f(x_0) = f'(x_0)(x-x_0)+o(x-x_0)$ при $x \to x_0$. $g(y)-g(y_0) = g'(y_0)(y-y_0) + o(y-y_0)$ при $y \to y_0.$ Далее получаем:

$f(x) -f(x_0)= (x-x_0)(f'(x_0)-u(x))$
$g(y)-g(y_0)=(y-y_0)(g'(y_0)-v(y)),$ где $u(x) \to 0$ при $x \to x_0,$ $v(y) \to 0$ при $y \to y_0.$

Определим $h(x)=g(f(x))$

$h(x)-h(x_0)=g(f(x))-g(f(x_0))=(f(x)-f(x_0))(g'(y_0)-v(y))$ $=(x-x_0)(f'(x_0)-u(x))(g'(y_0)-v(y)),$

откуда $\frac{h(x)-h(x_0)}{x-x_0} = (f'(x_0)-u(x))(g'(y_0)-v(y)).$

До этого момента мне всё понятно, дальше мы переходим к пределу при $x \to x_0$ и ясно, что $u(x) \to o,$ но у меня не получается вывести, что $v(y) \to 0$.

Поскольку $y=f(x),$ $y_0 = f(x_0),$ то я пытался воспользоваться теоремой о пределе композиции, которую мне недавно подсказали. Тогда бы получалось:

$\lim\limits_{y \to y_0} v(y) = 0,$ $\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)=y_0,$ откуда $\lim\limits_{x \to x_0} v(f(x)) = 0.$ Но для того, чтобы воспользоваться этой теоремой, нужно, чтобы $v(y)$ было непрерывно в $y_0$.

Но $v(y)=o(y-y_0)/(y-y_0).$ Под $o(y-y_0)$, насколько я понимаю, подразумевается $g(y)-g(y_0)-g'(y_0)(y-y_0),$ но тогда $v(y)$ просто не определена в $y_0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема о производной композиции.
Сообщение25.10.2016, 20:02 
Заслуженный участник


14/10/14
1220
Duelist
Доопределите её там нулём: она станет непрерывной, и всё заработает.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема о производной композиции.
Сообщение25.10.2016, 20:15 
Аватара пользователя


08/07/15
127
Slav-27
Спасибо, сделаю так.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема о производной композиции.
Сообщение26.10.2016, 19:47 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Ну, длинновато у Рудина оформлено. Вот тут как раз о-маленькие очень к месту. Если $\Delta f=f(x+\Delta x)-f(x)$, то

$\Delta h=h(x+\Delta x)-h(x)=g(f(x)+\Delta f)-g(f(x))=g'(f(x))\Delta f+o(\Delta f)=$

$=g'(f(x))\big(f'(x)\Delta x+o(\Delta x)\big)+o(\Delta f)=$

$=g'(f(x))f'(x)\Delta x+\big(g'(f(x))o(\Delta x)+o(\Delta f)\big)=g'(f(x))f'(x)\Delta x+o(\Delta x).$

Последнее в точности означает, что $h$ дифференцируема в точке $x$ и что её производная -- это именно $g'(f(x))f'(x)$. И практически все переходы -- тоже непосредственно по определению производной. Единственный нюанс, который требуется отмечать дополнительно: из дифференцируемости $f$ в точке $x$ следует $\Delta f=O(\Delta x)$ и потому $o(\Delta f)=o(\Delta x)$. Ну и ещё то, что из дифференцируемости $f$ следует её непрерывность, поэтому некоторую окрестность точки $x$ она переводит в заявленный сегмент $I$ аргументов функции $g$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема о производной композиции.
Сообщение26.10.2016, 19:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
ewert в сообщении #1163303 писал(а):
Если $\Delta f=f(x+\Delta x)-f(x)$, то

$\Delta h=h(x+\Delta x)-h(x)=g(f(x)+\Delta f)-g(f(x))=g'(f(x))\Delta f+o(\Delta f)=$
Режет глаз одинаковое обозначение разных аргументов. А уж первокуры ваще могут крышу потерять от таких обозначений. :cry:

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Alex Krylov, mihaild


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group