Закреплённая струна в пределе бесконечной длины

[Gickle]

День добрый, имеется задача относительно струны, закреплённой с обоих концов. Начало неважно, а финал приблизительно таков (думаю, сейчас и так станет понятно, откуда "ноги растут"):

"Отсюда покажите, что струна эквивалентна бесконченому набору гармонических осцилляторов с частотами $\omega_{n} = \sqrt{\frac{\tau}{\sigma}} \frac{n \pi}{R}$, где $\sigma$ - линейная плотность, $\tau$ - коэффициент натяжения, $R$ - длина струны. Что произойдёт в пределе $R \rightarrow \infty?$"

Собственно говоря, я, к своему стыду, призадумался над последним вопросом. Если быть честным, то просто не до конца понимаю, что именно от меня хотят услышать. То есть понятно, что струну действительно можно рассматривать как набор невзаимодействующих осцилляторов, что частоты мод будут всё падать и падать. Но как-то чего-то глубокого за всем этим не вижу. Может, какие-нибудь наводящие вопросы/подсказки дадите, уважаемые?

[Red_Herring]

Gickle в сообщении #1162085 писал(а):

Но как-то чего-то глубокого за всем этим не вижу

От дискретного спектра перейдете к непрерывному, и от рядов Фурье к интегралу Фурье.

[warlock66613]

Gickle в сообщении #1162085 писал(а):

частоты мод будут всё падать и падать

Вспомните, что число мод у вас бесконечно, и при любом $R$ в спектре будут присутствовать сколь угодно высокие частоты. Так что если смотреть на весь спектр, а не на одну моду, мы увидим вовсе не падение частот, а нечто совершенно другое.

[Gickle]

Red_Herring в сообщении #1162088 писал(а):

Gickle в сообщении #1162085 писал(а):

Но как-то чего-то глубокого за всем этим не вижу

От дискретного спектра перейдете к непрерывному, и от рядов Фурье к интегралу Фурье.

То есть сделать изначально что-то такое?

$ y(t,x) = \sqrt{\frac{1}{R}} \int_{-\infty}^{+\infty} d k \, e^{i k x} q_{k}(t) $

Тогда:
$ \begin{multiline} L = \frac{1}{R} \int_{0}^{R} d x \, \int \int_{-\infty}^{+\infty} d k \, d k_{1} \lbrace \frac{1}{2} \sigma \dot{q}_{k}(t) \dot{q}_{k_{1}}(t) \, e^{i (k_1 + k) x} + \frac{1}{2} \tau k \, k_{1} q_{k}(t) q_{k_{1}}(t) e^{i (k_1 + k) x} \rbrace = \\ = \left( \frac{1}{R} \int_{0}^{R} e^{i (k + k_1) x} d x = \delta_{k, -k_{1}} \right) = \int_{-\infty}^{+\infty} d k \, \lbrace \frac{1}{2} \sigma \dot{q}_{k}(t) \dot{q}_{-k}(t) - \frac{1}{2} \tau k^2 q_{k}(t) q_{-k}(t) \rbrace = \\ = \left( y(t,x) - \text{действительная функция, поэтому} \, q_{-k}(t) = q^{*}_{k}(t)\right) = \\ = \int_{-\infty}^{+\infty} \, d k \lbrace \frac{1}{2} \sigma \lvert\dot{q}_{k}(t) \rvert ^2 - \frac{1}{2} \tau k^2 \lvert q_{k}(t) \rvert ^2 \rbrace \end{multiline} $

Пока что глубины мысли всё равно не улавливаю. Или я что-то не так делаю?

warlock66613 в сообщении #1162096 писал(а):

Gickle в сообщении #1162085 писал(а):

частоты мод будут всё падать и падать

Вспомните, что число мод у вас бесконечно, и при любом $R$ в спектре будут присутствовать сколь угодно высокие частоты. Так что если смотреть на весь спектр, а не на одну моду, мы увидим вовсе не падение частот, а нечто совершенно другое.

Да, я как раз в этом направлении, видимо, и думал. То есть, грубо говоря, если сообщить струне энергию $E$, то на что-то она ведь потратится. Причём в зависимости от длины струны, вероятно, энергетический спектр должен быть несколько разным. Мыслю в правильном направлении?

[arseniiv]

Да просто на частоты мод посмотрите. На пределы при $L\to+\infty$:
1) наименьшей частоты $f_0$;
2) $|f_m - f_n|$;
3) числа мод, частоты которых попадают в выбранный промежуток.

[Gickle]

arseniiv в сообщении #1162320 писал(а):

Да просто на частоты мод посмотрите. На пределы при $L\to+\infty$:
1) наименьшей частоты $f_0$;
2) $|f_m - f_n|$;
3) числа мод, частоты которых попадают в выбранный промежуток.

Короче говоря, спектр становится непрерывным и пробегает значения $\left[0; +\infty \right)$? Да, мне теперь стыдно, что я не подумал о такой простой вещи.

Всем большое спасибо. Если здесь по-прежнему есть какой-то тонкий/интересный момент (мало ли), не стесняйтесь навести на эту мысль. :)

P.S. Перечитал сообщение Red_Herring и понял, что там фигурировало слово "перейдёте", а не "перейдите".