Просто фокус

[ananova]

Тут нет доказательства, тут просто фокус.

Пусть для попарно взаимно простых натуральных $x, y, z$ выполняются условия:

$$\xymatrix{{\color{red}{x^3+y^3}}=z^3&\ar@{..>}[r] && {\color{blue}{z^3-x^3}}=y^3} \eqno (1)$$

Найдём противоречие.

$$\xymatrix{(z^3-x^3)^2=(y^3)^2 &\ar@{..>}[r] && (z^3-x^3)^2 \equiv 0 \pmod{y^6}} \eqno (2)$$

$$\xymatrix{ z^3-x^3 \equiv y^3 &\ar@{..>}[r] && \boxed{z^3 \equiv x^3+y^3 \pmod{y^6}}}\eqno (3)$$

$$\xymatrix{ (z^3-x^3)^2 \equiv 0 &\ar@{..>}[r] && z^6+x^6 \equiv 2z^3x^3 \pmod{y^6}} \eqno (4)$$

Используем условие $(1)$ для подмены $z^3$:

$$\xymatrix{ z^6+x^6 \equiv 2z^3x^3&\ar@{..>}[r] && z^6+x^6 \equiv 2{\color{red}{(x^3+y^3)}}x^3 \pmod{y^6}} \eqno (5)$$

$$\xymatrix{(5) \ar@{..>}[r]&&z^6+x^6 \equiv 2x^6 +2y^3x^3 &\ar@{..>}[r]&&z^6-x^6 \equiv 2y^3x^3 \pmod{y^6}}$$

$$\xymatrix{z^6-x^6 \equiv 2y^3x^3 &\ar@{..>}[r] &(z^3-x^3)(z^3+x^3) \equiv 2y^3x^3 \pmod{y^6}}\eqno (6)$$

Сократим, согласно $(1)$, ${\color{blue}{(z^3-x^3)}}$:

$$\xymatrix{&\ar@{..>}[r]&&{\color{blue}{{\begin{xy}*{(z^3-x^3)};p+LD;+UR**h@{-}\end{xy}}}}(z^3+x^3) \equiv 2{\color{blue}{{\begin{xy}*{y^3};p+LD;+UR**h@{-}\end{xy}}}}x^3 \pmod{y^6}} \eqno (7)$$

$$\xymatrix{ &&&\ar@{..>}[r] && \boxed{z^3 \equiv x^3 \pmod{y^6}}}\eqno (8)$$

Девиация сравнения $(3)$.

[mihaild]

ananova в сообщении #1161299 писал(а):

Сократим, согласно $(1)$, ${\color{blue}{(z^3-x^3)}}$:

Как это вы на делитель нуля сокращаете?
А то я тоже так могу: $2\cdot 0 \equiv 2 \cdot 1 \pmod{2} \rightarrow 0 \equiv 1 \pmod{2}$.

[vasili]

Уважаемый ananova! Когда Вы сокращаете правую и левую части сравнения на общий делитель и этот делитель взаимно прост с модулем, тогда Вы были бы правы. Но этот делитель - $(y^3)$ так же является делителем модуля, а потому и модуль ($y^6$) должен быть сокращен на $y^3$. И фокус не удался.

[ananova]

Благодарю, всех!

Я знал, что ошибка была, т.к. для степени 1, тоже самое. Но в чем "подвох", Вы мне объяснили.
Что касается фокуса, то не каждый "студент" его разгадает ;)