Колебание систем на пружинах

[Stensen]

Доброго всем времени суток. Запнулся с задачами.
1. К оси подвижного легкого блока, подвешенного на невесомой нерастяжимой нити АВ, соединенной с двумя пружинами жесткостью $k_1 , \, k_2$ , прикреплено тело массой $ m $ (см.рис). Блок может свободно скользить по нити. Пренебрегая трением в оси блока, определить период T $ малых колебаний тела.


Ось $X$ направил вниз. Рассуждая, что перемещения точек А и B нити $x_1, \, x_2$ из-за проигрыша в расстоянии связаны с перемещением оси $x$ блока как: $x=\frac{x_1+x_2}{2}$ , а следовательно и ускорения этих же точек как: $a=\frac{a_1+a_2}{2}$ прихожу к системе:

$$$\left\{ \begin{array}{rcl} x=\frac{x_1 + x_2}{2} \\ \\ a=\frac{a_1 + a_2}{2} \\ \\ a_1 \frac{m}{2}= -k_1 x_1\\ \\ a_2 \frac{m}{2}=-k_2 x_2 \\ \end{array} \right.$$$

где: $a=\ddot{x}$. Массу в последних двух уравнениях взял $\frac{m}{2}$ , считая, что из-за выигрыша в силе, действующей на висящий на подвижном блоке груз, его массу можно считать эквивалентно половинной. Просуммировав последние два уравнения, получу:
$\ddot{x}+\frac{1}{m}(k_1x_1 + k_2x_2) =0$. Привести его к стандартному: $\ddot{x}=\omega^2 x =0$ не получается. Правильно ли рассуждаю? Подскажите пожалуйста.

[warlock66613]

Правильно. Вам осталось найти связь между $x_1$ и $x_2$, исходя из того, что масса блока пренебрежимо мала и в оси нет трения.

[Stensen]

warlock66613 в сообщении #1161072 писал(а):

Вам осталось найти связь между $x_1$ и $x_2$, исходя из того, что масса блока пренебрежимо мала и в оси нет трения.

Тогда так: исходя из того, что масса блока пренебрежимо мала и в оси нет трения, силы упругости пружин: $F_1=F_2$ , т.е. $k_1x_1=k_2x_2$ , отсюда: $\frac{x_1}{x_2}=\frac{k_2}{k_1}$ и тогда из: $x=\frac{x_1+x_2}{2}$ следует:
$x_1=x \, \frac{2k_2}{k_1+k_2} $

$x_2=x \, \frac{2k_1}{k_1+k_2} $

отсюда: $ k_1 x_1+ k_2 x_2= x \, \frac{4k_1 k_2}{k_1 + k_2}$ и отсюда: $\ddot{x}+ \frac{1}{m} \frac{4k_1 k_2}{(k_1 + k_2)} \, x =0$ ,

отсюда: $\omega^2 = \frac{1}{m} \frac{4k_1 k_2}{(k_1 + k_2)} , \quad T=\frac{2 \pi}{\omega} $. Все ли верно?

[warlock66613]

Stensen в сообщении #1161098 писал(а):

масса блока пренебрежимо мала и в оси нет трения, силы упругости пружин

Да. Более строго этот вывод можно получить, рассматривая моменты (всех трёх) сил относительно оси блока. В общем вроде всё верно и ошибок в выкладках я не вижу (что, правда, не означает, что их нет).

-- 19.10.2016, 16:54 --

Кстати, один из вариантов проверки: посмотреть во что превратится конечная формула при $k_1 = k_2$ - ясно, что в таком случае конструкция эквивалентна грузу на пружине двойной жёсткости.