Движение тела брошенного вертикально вниз

[Ёж]

Тело начинает падать с высоты H под действием силы тяжести. В процессе падения оно испытывает сопротивление, пропорциональное скорости.
Если правильно понимаю, то вид дифференциального уравнения описываемое данный процесс зависит от выбора направления координатной оси.

Направление координатной оси выберем вниз (к земле). Тогда
$\vec{a}=\frac{\vec{F}}{m}=\frac{\vec{P}+\vec{F}}{m}$, где
$\vec{P}=m\vec{g}$ - сила тяжести,
$\vec{F}=-k\vec{v}$ - сила сопротивления.
Следовательно, получаем дифференциальное уравнение $a=\frac{mg-kv}{m}$ или $v’=\frac{mg-kv}{m}$.

Направление координатной оси выберем вверх (от земли). Тогда
$\vec{a}=\frac{\vec{F}}{m}=\frac{\vec{P}+\vec{F}}{m}$, где
$\vec{P}=m\vec{g}$ - сила тяжести,
$\vec{F}=-k\vec{v}$ - сила сопротивления.
Следовательно, получаем дифференциальное уравнение $a=\frac{-mg+kv}{m}$ или $v’=\frac{-mg+kv}{m}$.

Правильно ли полученные уравнения?

[ewert]

Ёж в сообщении #1159165 писал(а):

Правильно ли полученные уравнения?

Одно из двух неправильно -- угадайте, какое.

(подсказка: скорость обычно не умеет экспоненциально возрастать)

[Ёж]

ewert в сообщении #1159169 писал(а):

Ёж в сообщении #1159165 писал(а):

Правильно ли полученные уравнения?

Одно из двух неправильно -- угадайте, какое.

(подсказка: скорость обычно не умеет экспоненциально возрастать)

Скорее всего второе: $a=\frac{-mg-kv}{m}$ или $v’=\frac{-mg-kv}{m}$.
Объясните, пожалуйста, почему там должен быть минус?

[ewert]

Ёж в сообщении #1159180 писал(а):

Объясните, пожалуйста, почему там должен быть минус?

В чём разница между силой сопротивления и силой тяжести?

Связь между ускорением и силой сопротивления носит векторный характер -- как сила, так и ускорение выражаются через скорость. Поэтому и соотв. соотношение не зависит от выбора системы координат.

А вот ускорение свободного падения -- это скалярный параметр, оно по определению положительно. Поэтому при перевороте оси знак и приходится менять.

[Ёж]

ewert в сообщении #1159193 писал(а):

Ёж в сообщении #1159180 писал(а):

Объясните, пожалуйста, почему там должен быть минус?

В чём разница между силой сопротивления и силой тяжести?

Связь между ускорением и силой сопротивления носит векторный характер -- как сила, так и ускорение выражаются через скорость. Поэтому и соотв. соотношение не зависит от выбора системы координат.

А вот ускорение свободного падения -- это скалярный параметр, оно по определению положительно. Поэтому при перевороте оси знак и приходится менять.

Спасибо!

[svv]

Чтобы понять, почему именно таковы знаки, надо учесть один нюанс.

Вот векторное уравнение:
$\mathbf v'=\mathbf g-\frac k m\mathbf v$
Оно не требует введения координат и потому не зависит от их выбора. Проецируя его на ось, направленную хоть вверх, хоть вниз, получим
$v'=g-\frac k m v$
Здесь ( ) $g$ — проекция ускорения свободного падения на выбранную ось.

Независимость формы уравнения от выбора оси подтверждается и тем, что при смене направления оси на противоположное меняются знаки проекций и скоростей, и ускорений, то есть каждого слагаемого. А это равносильно сохранению формы уравнения.

Всё классно, и в таком виде Вы передаёте уравнение инженеру. А он говорит:
— Когда ось направлена вверх, $g$ чему равно?
— Ну, минус $9.8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$.
— Мне это неудобно. Мне надо, чтобы $g$ имело смысл физической константы и было всегда положительно.
И Вам в случае оси вверх приходится менять знак (и смысл!) $g$. Теперь в этом случае уравнение будет
$v'=-g-\frac k m v$

[Ёж]

svv в сообщении #1159197 писал(а):

Чтобы понять, почему именно таковы знаки, надо учесть один нюанс.

Вот векторное уравнение:
$\mathbf v'=\mathbf g-\frac k m\mathbf v$
Оно не требует введения координат и потому не зависит от их выбора. Проецируя его на ось, направленную хоть вверх, хоть вниз, получим
$v'=g-\frac k m v$
Здесь ( ) $g$ — проекция ускорения свободного падения на выбранную ось.

Независимость формы уравнения от выбора оси подтверждается и тем, что при смене направления оси на противоположное меняются знаки проекций и скоростей, и ускорений, то есть каждого слагаемого. А это равносильно сохранению формы уравнения.

Всё классно, и в таком виде Вы передаёте уравнение инженеру. А он говорит:
— Когда ось направлена вверх, $g$ чему равно?
— Ну, минус $9.8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$.
— Мне это неудобно. Мне надо, чтобы $g$ имело смысл физической константы и было всегда положительно.
И Вам в случае оси вверх приходится менять знак (и смысл!) $g$. Теперь в этом случае уравнение будет
$v'=-g-\frac k m v$

Рассмотрим вторую задачу. Тело подбрасывают прямо вверх с начальной скоростью. Сопротивление воздуха, пропорциональное скорости, замедляет ее движение.

Получаем
$\vec{a}=\frac{\vec{F}}{m}=\frac{\vec{P}+\vec{F_c}}{m}$, где
$\vec{P}=m\vec{g}$ - сила тяжести,
$\vec{F_c}=-k\vec{v}$ - сила сопротивления.
Векторное уравнение:
$\vec{v}'=\vec{g}-\frac k m\vec{ v}$
Направление координатной оси выберем вверх (от земли). Тогда
$v'=-g-\frac k m v$

Правильно ли полученное уравнение?

[svv]

Правильно. Более того, уравнение и не должно зависеть от начальных условий. Не зависит форма уравнения и от того, движется ли тело вверх или вниз. Всё огромное множество различных ситуаций, когда тело движется по вертикали только под действием силы тяжести и сопротивления среды, охватывается этим уравнением.

Иными словами, уже рассматривая Ваше первое сообщение, мы понимали под уравнением и частный случай второй задачи.

[Ёж]

svv в сообщении #1159230 писал(а):

Правильно. Более того, уравнение и не должно зависеть от начальных условий. Не зависит форма уравнения и от того, движется ли тело вверх или вниз. Всё огромное множество различных ситуаций, когда тело движется по вертикали только под действием силы тяжести и сопротивления среды, охватывается этим уравнением.

Иными словами, уже рассматривая Ваше первое сообщение, мы понимали под уравнением и частный случай второй задачи.

Спасибо!