Треугольники и ВТФ

[Yarkin]

shwedka писал(а):

Вроде бы, bot и AD вызвались быть оппонентами. Разберитесь, плиз, между собой и определитесь, кто начнет.

Согласен.

shwedka писал(а):

Выберите того модератора или участника, который вас устраивает, и попросите быть рефери.

STilda, может согласитесь.

Добавлено спустя 12 минут 19 секунд:

Уважаемые модераторы! Если вы согласны с предложением народа, то прошу вас закрыть эту тему и открыть новую - тему для троих, без сопроводительной подписи, с сообщения:
Теорема антикосинусов. Для любого натурального $n > 0$ не существует никакого треугольника, длины сторон которого, удовлетворяли бы соотношению

$$ x^{2n} + y^{2n} = z^{2n}, \eqno (1) $$

где $x, y, z$ - положительные действительные числа.
Доказательство. 1. Положим

$$ x^n = a, y^n = b, z^n =c, \eqno (2) $$

Тогда соотношение (1) можно записать в виде

$$ a^2 + b^2 = c^2, \eqno (3) $$

Соотношение (3) получается из соотношений теоремы косинусов для треугольника со сторонами $a^2, b^2, c^2$,

$$ \left\{ \begin{aligned} a^4 + b^4 - 2a^2 b^2 \cos C_1 = c^4\\ c^4 + a^4 - 2a^2 c^2 \cos B_1 = b^4\\ c^4 + b^4 - 2b^2 c^2 \cos A_1 = a^4.\\ \end{aligned} \right. \eqno (4) $$

с условиями для углов

$$ 0 < \angle A_1 < \pi, 0 < \angle B_1 < \pi, 0 < \angle C_1 < \pi , \angle A_1 + \angle B_1 + \angle C_1 = \pi. \eqno (5) $$

при нарушении этих условий $(\angle C_1 = 180^0, \angle A_1 = \angle B_1 = 0)$, т. е. треугольник с такими сторонами не существует, либо $ a^2, b^2, c^2$ не являются элементами первого измерения. Это следует и из самого соотношения (1).
2. Допустим, что для произвольного $n$ > 0, существует треугольник со сторонами $a = x^n, b = y^n, c = z^n$, для которого имеет место соотношение (1). Однако для такого треугольника должна выполняться теорема косинусов.

$$ \left\{ \begin{aligned} a^2 + b^2 - 2ab \cos C = c^2\\ c^2 + a^2 - 2ac \cos B = b^2\\ c^2 + b^2 - 2bc \cos A = a^2.\\ \end{aligned} \right. \eqno (6) $$

с условиями для углов

$$ 0 < \angle A < \pi, 0 < \angle B < \pi, 0 < \angle C < \pi , \angle A + \angle B + \angle C = \pi. \eqno (7) $$

Первое соотношение (6) совпадет с соотношением (3) при $\angle C = \pi/2$. Далее возможны два случая либо

$$ a = c \cos B, b = c \cos A, \eqno (8) $$

либо

$$ a \ne c \cos B, b \ne c \cos A, \eqno (9) $$

Рассмотрим каждый из этих случаев в отдельности.
1) Выполняются соотношения (8). Все три соотношения (6) перейдут в соотношение (3), где, теперь, элементами первого измерения являются $a = x^n, b = y^n, c = z^n$, но одни и те же элементы одного и того же соотношения, могут иметь только один порядок измерения. Допустив противное, мы должны будем допустить существование соответствующих подобных линейных элементов $a, b, c $ и $ a^2, b^2, c^2$. Это будет возможно только при $a = b = c$, что противоречит соотношению (3). Допущение неверно. Если же эти величины разных измерений, то придем к рассмотренному пункту 1.
2) Выполняются соотношения (9). Но эти соотношения противоречат основным тригонометрическим соотношениям для прямоугольного треугольника. Следовательно, допущение о существовании такого треугольника неверно. Теорема доказана.
Следствие 1. При натуральном $n > 0$ не существует треугольника со сторонами $x^{n/2}, y^{n/2}, z^{n/2}$, для которого имело бы место соотношение

$$ x^n + y^n = z^n. \eqno (10) $$

Чтобы убедиться в этом, достаточно в доказательстве теоремы, в обозначениях (2) положить

$$ x^{n/2} = a, y^{n/2} = b, z^{n/2} = c, \eqno (11) $$
.
Следствие 2. ВТФ. Полагая в соотношениях (4) $\angle C = \pi, \angle B = \angle A = 0$ (треугольник не существует), получим из всех трех соотношений – уравнение Ферма (7), для которого, как следует из доказанной теоремы, не существует никаких треугольников со сторонами (11).
Следствие 3. Пифагоровы тройки – корни уравнения (9) при $n = 1$

$$ x^2 + y^2 = z^2. \eqno (12) $$

не могут быть использованы для построения треугольников, поскольку они не удовлетворяют требованию (8) и оно не содержит угловых элементов. Отсюда следует, что в ВТФ условие $n > 2$ можно заменить условием $n > 1$.

[Jnrty]

Jnrty:

Отделено от темы "Существует или может существовать."

[bot]

OK, начали.
Не торопитесь с доказательством, пока нет чёткости в формулировке. Будет полная ерунда, если один будет понимать её так, другой иначе, а третий переменчиво - в одном месте так, а в другом иначе. О каких $x, y, z$ идёт речь в соотношении (1)?
Это и есть длины сторон треугольника, или, к примеру, длины сторон - это $x^n, y^n, z^n$? Пока останавливаюсь на варианте:

=================================================================
Теорема антикосинусов. Пусть $n$ произвольное положительное целое число,
а $x, y, z$ - положительные действительные числа, удовлетворяющие соотношению

$$ x^{2n} + y^{2n} = z^{2n}, \eqno (1) $$

Тогда не существует треугольника с длинами сторон $x, y, z$
=================================================================
Если с формулировкой согласны, можно приступать к доказательству, нет - предлагайте свой вариант.

[STilda]

хорошо. если не смущает мое не частое появление. (раз два в неделю)

[AD]

shwedka писал(а):

Вроде бы, bot и AD вызвались быть оппонентами.

Так, че-то я всё прозевал и ничего не понял. botа назначили, да? Я отдыхаю пока?

P.S. Начало многообещающее, тенденция тоже.

[Yarkin]

bot писал(а):

OK, начали.
Не торопитесь с доказательством, пока нет чёткости в формулировке. Будет полная ерунда, если один будет понимать её так, другой иначе, а третий переменчиво - в одном месте так, а в другом иначе. О каких $x, y, z$ идёт речь в соотношении (1)?
Это и есть длины сторон треугольника, или, к примеру, длины сторон - это $x^n, y^n, z^n$?

Многозначного толкования моей формулировки я не вижу. Речь идет о длинах сторон, удовлетворяющих соотношению (1).

Добавлено спустя 12 минут 46 секунд:

bot писал(а):

=================================================================
Теорема антикосинусов. Пусть $n$ произвольное положительное целое число,
а $x, y, z$ - положительные действительные числа, удовлетворяющие соотношению

$$ x^{2n} + y^{2n} = z^{2n}, \eqno (1) $$

Тогда не существует треугольника с длинами сторон $x, y, z$
=================================================================

Эта формулировка является частным случаем моей, а потому она ссуживает область теоремы, что, разумеется, затруднит доказательство. Однако, я не считаю свою формулировку окончательной и согласен с Вами, что она не удачна. Пока не могу найти лучший вариант. Надеюсь, что найдем, поскольку к этому присоединились Вы.

[bot]

AD писал(а):

Так, че-то я всё прозевал и ничего не понял. botа назначили, да? Я отдыхаю пока?

Да нет, не прозевали - всё просто как на деревенской свадьбе.
Ну должен же кто-то начинать - сказал отец невесты, заезжая отцу жениха в ухо.
Можете присоединяться, а вот другие, насколько я понимаю, согласны исполнять роль зрителей.

Yarkin писал(а):

Многозначного толкования моей формулировки я не вижу. Речь идет о длинах сторон, удовлетворяющих соотношению (1).

А я вижу и объяснил почему. Ваша формулировка утверждает отсутствие треугольника с какими-то сторонами, но какими именно - неясно. Вот я и предположил, что Вы утверждаете несуществование треугольника с длинами сторон $x, y, z$.
Всё остальное - это просто редакционная правка.

Yarkin писал(а):

Эта формулировка является частным случаем моей, а потому она суживает область теоремы, что, разумеется, затруднит доказательство.

Первый раз слышу, чтобы при сужении области действия теоремы, доказательство затруднялось бы. Уж во всяком случае, если у Вас есть доказательство более общей теоремы, то оно же должно годится и для её частного случая. При переходе к частному случаю можно лишь говорить об упрощении доказательства (обычное дело), но никак не об его усложнении.
Ну да ладно, пусть моя формулировка является частным случаем Вашей теоремы.
Поскольку против такой формулировки нет возражений ни с одной стороны, то предлагаю с неё и начать, оставляя возможность обобщения после того как будет доказан этот частный случай. Предлагаю ещё в рамках данного обсуждения согласится с той частью математиков, которые считают, что натуральный ряд начинается не с нуля, а с единицы.
Итак, я считаю принятым следующий вариант:

=================================================================
Лемма. Пусть $n$ произвольное натуральное число,
а $x, y, z$ - положительные действительные числа, удовлетворяющие соотношению

$$ x^{2n} + y^{2n} = z^{2n}, \eqno (1) $$

Тогда не существует треугольника с длинами сторон $x, y, z$
=================================================================

[Hottabych]

Контрпример к лемме: n=3, x=1, y=1

[bot]

Читайте правила.

[shwedka]

1. тема закрывается. Все сказанное в ней объявляется недействительным.
2. Yarkin открывает новую тему, под названием, скажем, ТЕОРЕМА АНТИКОСИНУСОВ,
в котором первое сообщение совпадает с последним постом Yarkinа.

Здесь же копируется настоящее соглашение.

3. Имеется один оппонент (я не претендую). Только он(а) задает вопросы, только на них отвечает Yarkin. Желающие вмешаться сообщают свои идеи оппоненту (или другим соучастникам) лично.
Неоппоненты могут высказываться, но их посты вопросами не считаются, и на них отвечать не следует.
4. Yarkin старается отвечать на вопросы оппонента содержательно, без непроверяемых ссылок (Н.О.Нейм) или зановопридуманных терминов. Воздерживается от однострочных малосодержательных ответов.
5. Фиксируется начальный текст. Оппонент и Yarkin обсуждают следующий фрагмент, возможно одно слово, пока текст не будет согласован и зафиксирован. Фиксированный текст обсуждению или изменению не подлежит (но ссылаться на него, конечно, можно).
6. Уставший оппонент подлежит замене.
7. Дискуссия ведется в уважительных терминах, пока не доказано противоположное.
8. В математике действует презумпция виновности. Утверждение не доказано, пока не пред'явлено доказательство, ссылка, или не признано, что факт общеизвестен. Понятие не определено, пока не дано определение (не следует, однако, выходить за пределы разумного).Оппонент воздерживается от собственных содержательных утверждений, кроме непосредственно проверяемых, иначе Yarkin получает право требовать доказательство.

[Yarkin]

shwedka писал(а):

1. тема закрывается. Все сказанное в ней объявляется недействительным.

Уважаеме модераторы, давайте послушаемся.

[PAV]

PAV:

Это в последний раз.