Нулевая степень элемента в группе и моноиде

[student1138]

В учебнике Кострикина предлагается для группы и для моноида считать что $x^0 = e$ для любого элемента $x$.

Для группы я готов это принять без проблем т.к. $x^0 = e$ следует из аксиом группы: $e = x^a(x^{-1})^a = x^ax^{-a} = x^{a + (-a)} = x^0$.

А вот для моноида это не так. т.к. обратного элемента может не быть. Соответственно вывести это соотношение из аксиом мы не можем. Но тогда полагать что $x^0 = e$ мне кажется произволом все-равно как если бы сказали положим для любого моноида $x^5 = e$.

В общем не могу это принять. Как быть? Как следует понимать утверждение о нулевой степени элемента? Мне кажется такие утверждения обязательно должны выводиться из аксиом. Иначе у меня возникает внутренний протест.

[Xaositect]

Это делается для того, чтобы всегда выполнялось $x^{n + m} = x^n x^m$.
Еще при таком определении получается, что минимальный моноид, содержащий $x$, состоит из всех степеней $x^n$.

[student1138]

Xaositect в сообщении #1158414 писал(а):

Это делается для того, чтобы всегда выполнялось $x^{n + m} = x^n x^m$.

Что-то я не понимаю. Так что же $x^0=e$ следует считать еще одной аксиомой моноида? Но это же не так.

[Xaositect]

Не аксиомой моноида, а частью определения операции возведения в степень.

[student1138]

Мне кажется я понял откуда диссонанс. Мне интуитивно казалось что операция возведения в степень - это всегда умножение, но это не так! Это только если степень $n > 1$. Возможно это потому что в учебнике определение степени как таковое строго не дается, а упоминается вскользь. Вот попробую сам определить досконально:

$x^n := $

1) при $n > 1$ - это результат произведения $x...x$, где число $x$ равно $n$
2) при $n > 1$ - это $x$ (т.е тут уже речь о произведении не идет вообще)
3) при $n > 0$ - это $e$ (тоже нет речи о произведении)

Отрицательные не буду писать там все понятно. По сути случаи 2 и 3 - это некий произвол который мы определяем так как нам удобно. Они уже не имеют отношения к операции умножения (и не могут иметь) тогда как мне интуитивно казалось что все случаи обязательно должны опираться на умножение.

-- 09.10.2016, 19:07 --

Спасибо Xaositect, навели на правильное направление

[AV_77]

Тут можно такое не совсем формальное (можно, конечно, все это строго формализовать) обоснование использовать.

Пусть есть некоторое множество $A$ - алфавит, его элементы - буквы. Пусть $G$ - множество всевозможных слов в алфавите $A$. Если есть два слова, например, $abc$ и $def$, то определим их произведение как слово $abcdef$ - приписывание одного слова к другому. В результате мы получим полугруппу.

Заметим теперь, что мы можем рассматривать и "пустое" слово, не содержащее букв. Обозначим его $\Lambda$. Очевидно, при приписав "пустое" слово к любому слову $x$ мы снова получим $x$. Так мы получаем $\Lambda x = x \Lambda = x$. Опять таки понятно, что $\Lambda$ будет являться единичным элементом и мы получим моноид.

Теперь перейдем к степеням. Формально для $n \geq 0$ определим $x^n = \prod_{j=1}^n x$, то есть $x^n$ это слово, которое получается $n$-кратным повторением слова $x$. В частности, $x^1 = x$, $x^2 = xx$ и так далее. Если же $n = 0$, то мы получим "пустое" произведение (слово $x$ повторенное $0$ раз), так что $x^0 = \Lambda$.

[student1138]

Цитата:

1) при $n > 1$ - это результат произведения $x...x$, где число $x$ равно $n$
2) при $n > 1$ - это $x$ (т.е тут уже речь о произведении не идет вообще)
3) при $n > 0$ - это $e$ (тоже нет речи о произведении)

Опечатался, вот так должно быть:
1) при $n > 1$ ...
2) при $n = 1$ ...
3) при $n = 0$ ...

[student1138]

Все-таки не дает мне эта тема покоя. Что-то опять сподвигло вернуться к ней недавно и вот мои мысли.

Выше AV_77 привел пример моноида где элементами выступают строки символов, в качестве умножения испольуется конкатенация строк, а нейтральным элементом является пустая строка. В этом моноиде нулевая степень естественным образом равна нейтральному элементу. Мне подумалось вот что. А можно ли доказать что между любым моноидом и выше приведенным моноидом всегда можно найти изоморфизм? Тогда вопрос нулевой степени я бы для себя закрыл, наверное.

Пытался построить такой изоморфизм но полноценного доказательства не получилось. Только вот такой набросок получился:
1) Возьмем любой моноид и разделим его элементы на 2 вида: те которые могут быть представлены как произведение других элементов (кроме нейтрального и самого себя) и те которые не могут.
2) Тем, которые не могут быть представлены (назовем их "простыми"), сопоставим различные символы в нашем "строковом" моноиде
3) Тем, которые представляются как произведение других элементов (простых), сопоставим соответствующие строки
4) Получившееся отображение является изоморфизмом

Однако тут явно есть какие-то заковырки, например:
1) А что если в моноиде каждый элемент может быть представлен как произведение других.
2) А что если некоторый элемент не единственным образом может быть представлен как произведение других. Тогда непонятно какую строку ему сопоставлять.
3) Если элемент может быть представлен как произведение других элементов, всегда ли эта последовательность разложился до конечного набора "простых" элементов или там внутри может обнаружиться что-то типа рекурсии и тогда строка просто будет бесконечно множиться?
4) Или вот например нейтральный элемент в поле $Z_3$ не является простым ($2 \cdot 2 \equiv 1 \mod 3$). Похоже, это влечет проблему т.к. с одной стороны нейтральному элементу мы должны сопоставить пустую строку, а с другой не пустую, конкатенацию образов элемента $2$.

[Someone]

student1138 в сообщении #1172069 писал(а):

А можно ли доказать что между любым моноидом и выше приведенным моноидом всегда можно найти изоморфизм? Тогда вопрос нулевой степени я бы для себя закрыл, наверное.

Изоморфизма может и не быть. Попробуйте доказать, что есть гомоморфизм. Думаю, что этого хватит для обоснования.
Посмотрите, что такое свободный моноид с заданным множеством образующих.

[student1138]

Цитата:

Посмотрите, что такое свободный моноид с заданным множеством образующих.

Я пока размышлял об этом, выходил на понятие свободной группы. Свободная по идее группа снимает все вопросы но сразу же возникает вопрос, а каждая ли группа является свободной? Аналогично для моноидов. А мне-то хочется доказать для всех моноидов а не только для свободных.

Цитата:

Изоморфизма может и не быть. Попробуйте доказать, что есть гомоморфизм. Думаю, что этого хватит для обоснования.

Я не очень понимаю как наличие гомоморфизма поможет обосновать то что $a^0 = 1$. Если $\varphi$ - гомоморфизм, тогда $\varphi(a^n) = \varphi^n(a)$, тогда $\varphi(a^0) = \varphi^0(a) = \lambda$. Но из этого же ведь не следует что $a^0 = 1$?

[Someone]

student1138 в сообщении #1172081 писал(а):

а каждая ли группа является свободной?

Разумеется, нет. К тому же, группа может быть свободной для одной системы образующих и не быть свободной для другой системы образующих.

student1138 в сообщении #1172081 писал(а):

Я не очень понимаю как наличие гомоморфизма поможет обосновать то что $a^0 = 1$. Если $\varphi$ - гомоморфизм, тогда $\varphi(a^n) = \varphi^n(a)$, тогда $\varphi(a^0) = \varphi^0(a) = \lambda$. Но из этого же ведь не следует что $a^0 = 1$?

Вы не спешите делать выводы, а сначала разберитесь с этим гомоморфизмом.

Кстати, тот моноид, который указал AV_77, является свободным, если в качестве системы образующих взять алфавит $A$.

[student1138]

Что-то идей насчет гомоморфизма нет и к тому же мне приходится немного забегать вперед т.к. до свободных групп я еще учебник не дочитал. Так что наверное отложу пока эту проблему в долгий ящик, потом докажу со временем.

Спасибо за помощь.