Механические колебания

[Stensen]

Доброго всем времени суток. Уважаемые помогите с задачами:
1. На чашку пружинных весов осторожно кладут груз. Система начинает колебаться с амплитудой $A$. Каков период колебаний груза $T$ ?
Не совсем понятно, из намека в условии о том, что период зависит от амплитуды следует, что колебания не гармонические. Более ничего в голову не приходит.

2. На чашку, подвешенную к пружине с коэффициентом жесткости $k$, с высоты $h$ падает груз массой $m$ и прилипает к ней. Определить амплитуду $A$ возникающих при этом колебаний чашки. Массой чашки пренебречь.

Нахожу скорость $v_0$, с которой груз упал на чашку и прилип к ней. С этой же скоростью чашка начала движение в момент $t_0=0$:
Из: $ mgh=\frac{mv_0^2}{2} $ имеем: $v_0(t_0)=\sqrt{2gh} $, а т.к. $ v_0(t_0)=\dot{x}(t_0)=A \omega, \,\, \omega=\sqrt{\frac{k}{m}}$, то получим:

$A=\sqrt{\frac{2mgh}{k}}$. Не сходится с ответом: $A=\frac{mg}{k}\sqrt{1+\frac{2kh}{mg}}$. Подскажите где я ошибаюсь?

[mihiv]

2. Положение равновесия пружины с грузом другое по сравнению с пружиной без груза.

[Stensen]

mihiv в сообщении #1157138 писал(а):

2. Положение равновесия пружины с грузом другое по сравнению с пружиной без груза.

Если правильно понял, теперь положение равновесия сместится в точку: $x_0=\frac{mg}{k}$ и колебания будут происходить в ее окрестности. Тогда по закону сохранения энергии:

$\frac{mv^2}{2}+\frac{kx^2}{2}-mgx=E_0$, где: $E_0=mgh$.

Здесь я не уверен в знаке перед $mgx$. При его выборе рассуждал так: полная энергия системы при предоставлении свободы грузу уменьшается на величину уменьшения высоты подъема груза над поверхностью Земли (нулевым уровнем потенциальной энергии). Так ?

Далее, в крайних точках: $x=A,\,\, v=0$ и тогда:

$\frac{kA^2}{2} - mgA - mgh=0 $, откуда:

$A_{1,2} = \frac{mg}{k} \pm \frac{mg}{k} \sqrt{1+\frac{2hk}{mg}} $, т.е. амплитуда от положения равновесия: $A = \frac{mg}{k} \sqrt{1+\frac{2hk}{mg}} $.

Все ли верно?

[amon]

Первая задача аналогична второй.

[Pphantom]

Stensen в сообщении #1157123 писал(а):

Не совсем понятно, из намека в условии о том, что период зависит от амплитуды следует, что колебания не гармонические.

Не обязательно. От амплитуды в данном конкретном случае может зависеть что-то другое, определяющее период гармонических колебаний.

[Stensen]

amon в сообщении #1157154 писал(а):

Первая задача аналогична второй.

Да, родил решение. Из 2-й задачи если $h=0$, то: $A_{(h=0)} = \frac{mg}{k} \sqrt{1+\frac{2hk}{mg}} = \frac{mg}{k} $, тогда: $ \frac{m}{k} = \frac{A}{g} $, и $T=2 \pi \sqrt{\frac{A}{g}}$. Все ли верно?

[amon]

Вроде, все правильно (у меня в уме также получилось), только сложно. В уме решал через сохранение энергии.

[Stensen]

Всем спасибо!