шашка и шарики

[vamoroz]

В своей книге Комбинаторика Н.Я. Виленкин, в том числе, рассматривает перемещение шашки по по шахматной доске. Ниже привожу два рисунка, взятые из этой книги.

На каждой черной клеточке шахматной доски написано количество способов, которыми шашка может попасть на данное поле.
Написанные цифры подчиняются рекуррентному уравнению
$U(i,j)=U(i-1,j-1)+U(i+1,j-1)$ , где i-номер строки,j-номер столбца
Точно такое же рекуррентное уравнение описывает падение шарика по доске Гальтона.

Данный рисунок взят из сообщения #1131626 темы «доска Гальтона».
Имеют ли правила перемещения шашки и закон падения шарика одинаковую природу? Если природа этих, напервый взгляд похожих процессов, различна , то почему?

[arseniiv]

Третья тема всё о том же. Одинаковые, разумеется.

[vamoroz]

Уважаемый arseniiv
Полностью с Вами согласен. Природа падающего шарика и шашки одинакова.
Предположу, что все 45 участников, которые посмотрели к настоящему моменту данную тему, думают так же.
Активных возражений не было.
В своем сообщении в теме «Как распределятся падающие шарики» вы утверждаете, что перемещение шарика можно определить с помощью цепи Маркова, по крайне мере, я причислил Вас к сторонникам гипотезы «о неравномерной вероятности».
На основании данной гипотезы были вычислены вероятности попадания шашки на каждую клеточку 8-й горизонтали. У меня получилось {35/64, 21/64, 7/64, 1/64}.
Судя по знаменателю, существует 64 варианта попадания на 8-ю горизонталь. Но перечислить все 64 варианта не возможно, так как их не существует в природе. Число возможных траекторий на 8-ю горизонталь ограничивается числом 35.
На основании полученного результата напрашивается вывод, что утверждение об одинаковой природе двух сравниваемых явлений ошибочно. Возможен и другой вариант. Очень может быть, что перемещение шашки по шахматной доске нельзя описать цепью Маркова.
Где ошибка в данных рассуждениях?

[Лукомор]

vamoroz в сообщении #1157119 писал(а):

Где ошибка в данных рассуждениях?

Вот здесь:

vamoroz в сообщении #1157119 писал(а):

На основании данной гипотезы были вычислены вероятности попадания шашки на каждую клеточку 8-й горизонтали. У меня получилось {35/64, 21/64, 7/64, 1/64}.
Судя по знаменателю, существует 64 варианта попадания на 8-ю горизонталь.

Вот правильная формула для определения количества способов попадания на данное поле:

vamoroz в сообщении #1156647 писал(а):

$U(i,j)=U(i-1,j-1)+U(i+1,j-1)$ , где i-номер строки,j-номер столбца

Вот неправильная формула для определения количества способов попадания на данное поле:

vamoroz в сообщении #1157119 писал(а):

Судя по знаменателю...

Это даже не формула, это заклинание!
Глядя на знаменатель в формуле вероятностей, ничего определенного про количество различных способов движения шашки сказать нельзя.