Ампер и кулон

[warlock66613]

arseniiv, если бы мы не знали, что радиан безразмерен, то мы не смогли бы написать формулу длины дуги $l=\varphi r$.

[Евгений Машеров]

wrest в сообщении #1156985 писал(а):

А вот как создать, хранить, измерять, поверять и сверять эталон электрического заряда, даже и не представляю

Кулонометрически. Медь, серебро, ртуть - что-то выделяется (или водород, в кулонометре Гофмана).

[arseniiv]

Munin в сообщении #1156986 писал(а):

Еле-еле разобрался. Попроще бы вы выражались, что ли. Зачем эпиморфизм, когда подразумевается сюръекция?

Это остатки предыдущей версии сообщения. Впрочем, это эпиморфизм, когда он действует из множества векторных пространств, т. к. оно замкнуто относительно тензорного произведения пространств, и это выходит группа, а $\mathbb Z$-модуль — тоже группа, и эпиморфизм групповой.

Munin в сообщении #1156986 писал(а):

И что? Что такое "основные величины"? И в чём состоит ваш вопрос?

Ну, по духу СИ метр в квадрате должен быть выделен по сравнению с остальными единицами площади, думается. И вопрос тогда в том, зачем нам размерности в СИ, если это дублирование информации. Я вижу только одно преимущество: запись короче. Зато к недостаткам добавляется совпадение размерностей частоты и угловой скорости/круговой частоты и аналогичные случаи.

warlock66613 в сообщении #1156992 писал(а):

arseniiv, если бы мы не знали, что радиан безразмерен, то мы не смогли бы написать формулу длины дуги $l=\varphi r$.

Ну, на самом деле эта формула верна только потому что мы выбрали её верной. В общем случае никто не мешает заселить значениями углов поворота не $\mathbb R$, а ещё одно одномерное векторное пространство (состоящее, скажем, из натуральных параметризаций разных окружностей). Умножение на величину угла в радианах — это, мягко говоря, костыль. Привычный, ну и что ж, и не предлагаю его отменять.

-- Пн окт 03, 2016 23:23:52 --

Иначе говоря, либо радиан всё-таки синоним единицы, либо мы делим в этой формуле угол на радиан, чтобы получить скаляр.

-- Пн окт 03, 2016 23:24:33 --

Впрочем, я так выразился, что, скорее всего, буду понят не так как хотелось.

[warlock66613]

arseniiv, можно придумать много разных систем единиц, но нет способа консистентно включить радианы и стерадианы в СИ, не приписав им размерность $1$, и при этом не наделив чисто математическую константу $\pi$ нетривиальной размерностью. Отсюда и возникает неизоморфность единиц измерения и размерностей.

-- 03.10.2016, 22:33 --

А размерное $\pi$ непонятно как в ряд раскладывать: получается, что бесконечная сумма безразмерных величин может быть размерной величиной.

-- 03.10.2016, 22:44 --

Кстати, у меня вопрос к знатокам теории размерностей и всего такого. Реактивная мощность измеряется в вольт-амперах, а активная - в ваттах. Это одна и та же единица измерения или разные? И аналогично насчёт ньютон-метров, в которых измеряется момент силы, и джоулей.

[amon]

warlock66613 в сообщении #1156992 писал(а):

если бы мы не знали, что радиан безразмерен, то мы не смогли бы написать формулу длины дуги $l=\varphi r$.

IMHO, именно благодаря этой формуле мы можем выбрать "безразмерный" радиан. Если бы мы измеряли углы в делениях угломера (если кто знает, что это такое), то формула была бы $l=0.1047\varphi r,$ и углы были бы размерные. Опять же, IMHO, такая формула прекрасно впишется в систему единиц СИ. Есть же там диэлектрическая постоянная вакуума, возникшая из-за того, что первоначально первичной единицей был вольт, как разность потенциалов на контактах нормального ртутного элемента, в связи с чем диэлектрическая проницаемость в СИ - величина размерная. С тем же успехом, площадь можно измерять в круглых метрах (единица площади - площадь круга диаметром 1 метр) и придумать еще массу забавных единиц.

[warlock66613]

amon в сообщении #1157020 писал(а):

углы были бы размерные. Опять же, IMHO, такая формула прекрасно впишется в систему единиц СИ

Тогда, видимо, было бы два разных синуса: "геометрический" и "аналитический".

-- 03.10.2016, 23:06 --

Или, скорее, было бы что-то вроде "тригонометрических функций по "основанию" $a$" и "натуральных тригонометрических функций" - по аналогии с логарифмами.

[amon]

warlock66613 в сообщении #1157021 писал(а):

Тогда, видимо, было бы два разных синуса: "геометрический" и "аналитический".

Появилась бы еще одна "угловая постоянная вакуума $\varphi_0$", и входила бы она в тригонометрические формулы в самых малоподходящих местах, также, как это делает диэлектрическая постоянная вакуума в электродинамических. Деление угломера, между прочим, это единица угла в артиллерии. Думаете там тригонометрии совсем нет?

[Munin]

arseniiv в сообщении #1157008 писал(а):

Это остатки предыдущей версии сообщения. :mrgreen:

Не нашёл там новой версии.

arseniiv в сообщении #1157008 писал(а):

Ну, по духу СИ метр в квадрате должен быть выделен по сравнению с остальными единицами площади, думается.

А почему? Почему не 3,14 квадратных метра? Почему не 0,785 квадратных метра? Почему не 0,433 квадратных метра?

arseniiv в сообщении #1157008 писал(а):

И вопрос тогда в том, зачем нам размерности в СИ, если это дублирование информации.

Я пока не увидел, что с чем дублируется. Поясните ещё развёрнутее и внятнее, с примерами. Пока вы ходите вокруг да около, как будто я сам догадаться до чего-то должен.

arseniiv в сообщении #1157008 писал(а):

Зато к недостаткам добавляется совпадение размерностей частоты и угловой скорости/круговой частоты и аналогичные случаи.

А у вас есть предложение, как сделать эти размерности разными? С этого начинать надо было.

arseniiv в сообщении #1157008 писал(а):

В общем случае никто не мешает заселить значениями углов поворота не $\mathbb R$, а ещё одно одномерное векторное пространство (состоящее, скажем, из натуральных параметризаций разных окружностей).

В общем, углы поворота и так "заселяют" не одномерное векторное пространство, а колечко $S^1\cong U(1).$

А вот его касательное - будет неизменно $\cong\mathbb{R},$ что бы вы ни придумывали.

warlock66613 в сообщении #1157014 писал(а):

А размерное $\pi$ непонятно как в ряд раскладывать

А это часто надо в физике? Я вот ни одного примера не припомню.

Даже идея коммуникации с инопланетными цивилизациями высказывалась, основанная на том, что природные процессы не способны умножить никакую физическую величину ни на $\pi,$ ни на $e.$

warlock66613 в сообщении #1157014 писал(а):

Кстати, у меня вопрос к знатокам теории размерностей и всего такого. Реактивная мощность измеряется в вольт-амперах, а активная - в ваттах. Это одна и та же единица измерения или разные? И аналогично насчёт ньютон-метров, в которых измеряется момент силы, и джоулей.

Размерности формально разные, численно равные. Точно так же, как численно равны герц и обратная секунда.

amon в сообщении #1157020 писал(а):

IMHO, именно благодаря этой формуле мы можем выбрать "безразмерный" радиан. Если бы мы измеряли углы в делениях угломера (если кто знает, что это такое), то формула была бы $l=0.1047\varphi r,$ и углы были бы размерные.

Кстати, в градусах эта формула и выглядит как $l=\tfrac{\pi}{180^\circ}\varphi r.$

[Евгений Машеров]

amon в сообщении #1157020 писал(а):

Если бы мы измеряли углы в делениях угломера (если кто знает, что это такое), то формула была бы $l=0.1047\varphi r,$ и углы были бы размерные.

Это у нас, у которых $\pi=3$. У немцев $\pi=3.2$, а у шведов $\pi=3.15$

[Александрович]

warlock66613 в сообщении #1157014 писал(а):

Реактивная мощность измеряется в вольт-амперах, а активная - в ваттах.

Единица измерения реактивной мощности - вар, активной - Вт, полной - ВА.

[arseniiv]

Munin в сообщении #1157024 писал(а):

А почему? Почему не 3,14 квадратных метра? Почему не 0,785 квадратных метра? Почему не 0,433 квадратных метра?

Попробую угадать определение, которое я не читал: вероятно, производные единицы разрешается получать только умножением степеней основных. Тогда получится 1 квадратный метр, и не получится 0,433.

Munin в сообщении #1157024 писал(а):

Я пока не увидел, что с чем дублируется. Поясните ещё развёрнутее и внятнее, с примерами. Пока вы ходите вокруг да около, как будто я сам догадаться до чего-то должен.

Попробую. Например, вот основная единица — метр — измерения длины. Казалось бы, всё — но нет, нам надо сопоставить этой физической величине (длине) моном $\mathrm L$. И всякая физическая величина, единица измерения которой в СИ основная, получит моном из одной каждый раз другой буквы, а всякая другая — у которой нет основных единиц измерения — получит моном из выше введённых букв. Но мы вообще-то могли бы току поставить в соответствие не $\mathrm I$, а, скажем, $\mathrm{QT}$, и тогда заряду досталось бы $\mathrm Q$, хотя кулон и производная единица. Но почему нет?

Наверно, это выглядит как возражения ради возражений. Вообще я сторонник чистой математической теории без специально сверху введённых размерностей/единиц. Вот какие ограничения накладывает теория, такие и берём. Так что у меня нет желания защищать СИ или моё правильное или неправильное понимание её принципов.

Munin в сообщении #1157024 писал(а):

А у вас есть предложение, как сделать эти размерности разными? С этого начинать надо было.

Например, единицы измерения у них не пересекаются (раз уж это разные физические величины и они не имеют одних и тех же значений — конечно), а уж единиц измерения СИ и подавно по одной: $\text{Гц}\equiv\text{с}^{-1}$ и $\text{рад}\cdot\text{с}^{-1}$. (UPD: и вы их выше упомянули, конечно.) Они определяются однозначно и… ну, вот.

Проблема с рядом от размерной величины, конечно, интересная, но откуда вообще берутся углы поворота? Как значения выбранного непрерывного эпиморфизма $a\colon\mathrm{SO}(2)\to\mathbb R$. Если в исходных данных и результатах не будет ничего зависящего от углов, то все экземпляры $a$ в решении, очень грубо говоря, сократятся, так что мы можем взять какой-то другой $a$, и всё останется на месте. Потому непонятно, откуда углу обязательно быть безразмерным. Если измерять угол в двойных радианах, некоторая часть формул упростится и ещё часть — усложнится; по внешним признакам вполне себе размерная величина.

Munin в сообщении #1157024 писал(а):

В общем, углы поворота и так "заселяют" не одномерное векторное пространство, а колечко $S^1\cong U(1).$

Ну, это пространство самих поворотов, а не углов поворота, которые действительно вещественны, если измерять их в радианах, или образуют одномерное вещественное линейное пространство, если мы не уверены.

Munin в сообщении #1157024 писал(а):

А вот его касательное - будет неизменно $\cong\mathbb{R},$ что бы вы ни придумывали.

Не канонически, если мы, скажем, не знаем метрику на окружности.

[Munin]

arseniiv в сообщении #1157088 писал(а):

Но мы вообще-то могли бы току поставить в соответствие не $\mathrm I$, а, скажем, $\mathrm{QT}$, и тогда заряду досталось бы $\mathrm Q$, хотя кулон и производная единица. Но почему нет?

Могли бы. А в чём вопрос?

arseniiv в сообщении #1157088 писал(а):

Попробую угадать определение, которое я не читал: вероятно, производные единицы разрешается получать только умножением степеней основных. Тогда получится 1 квадратный метр, и не получится 0,433.

А вот определение: квадратный метр - это площадь квадрата со стороной метр.

Но в качестве единицы измерения площади можно было бы взять:
- круглый метр - площадь круга с радиусом метр;
- полукруглый метр - площадь круга с диаметром метр;
- треугольный метр - площадь правильного треугольника со стороной метр;
- ромбический метр - площадь квадрата с диагональю метр;
и так далее. Их соотношения с квадратным метром я и перечислил.

В системе единиц "квадратный метр" эти формулы записываются как $S=a^2,=\pi r^2,=\pi d^2/4,=a^2\sqrt{3}/4,=a^2/2.$ Заметьте, что ровно в одной из этих формул коэффициент равен единице - в первой.

Но если мы возьмём систему единиц "круглый метр", то все коэффициенты в этих формулах изменятся, и единичным станет другой один-единственный.

Это на примере метров, а та же самая петрушка и с другими размерностями. Например, можно так выбрать единицу энергии, что кинетическая энергия будет $mv^2,$ а работа - $2Fs.$ Почему бы и нет? Но выбрали так, как выбрали.

[warlock66613]

Александрович в сообщении #1157072 писал(а):

Единица измерения реактивной мощности - вар, активной - Вт, полной - ВА.

Точно, спасибо (только вольт-ампер — это всё-таки В$\cdot$А). Вот и ответ зачем нужно понятие размерности, отличное от понятия единицы измерения: еденицы измерения (вар и ватт) разные, а величины, выраженные в них, нужно тем не менее складывать, приравнивать и т. д.

[arseniiv]

Munin в сообщении #1157099 писал(а):

Могли бы. А в чём вопрос?

Я уже и не знаю.

Munin в сообщении #1157099 писал(а):

Но если мы возьмём систему единиц "круглый метр", то все коэффициенты в этих формулах изменятся, и единичным станет другой один-единственный.

Но это же не СИ будет. Я говорил про одну только СИ.

warlock66613 в сообщении #1157100 писал(а):

Вот и ответ зачем нужно понятие размерности, отличное от понятия единицы измерения: еденицы измерения (вар и ватт) разные, а величины, выраженные в них, нужно тем не менее складывать, приравнивать и т. д.

Частоту и угловую скорость или, например, угол и коэффициент трения я бы складывать постеснялся, а размерности здесь одинаковые. Да и различение вольт-ампера и ватта, которые просто должны быть равны — прикладная мистика.

[warlock66613]

arseniiv, ну безразмерность углов, как мы выяснили, просто неудачное в этом смысле решение.