Окрестность точки в аффинном пространстве, что это.

[Leon_06]

Добрый день! Вот читаю Винберга "Курс Алгебры" и остановился на отсутствующем в учебнике (я вроде бы не пропускал его) определении окрестности точки афинного пространства ассоциированного с каким то векторным пространством. Глава 7, стр. 291, Выпуклые множества - где даётся определение внутренней точки множества и первый раз в книге применяется понятие окрестности точки: "внутренней точкой множества S называется точка, которая лежит в этом множестве целиком вместе с некой ее окрестностью. ".
И как это понять, даже ума не приложу. Ведь я знаю лишь что есть окрестность в Топологии может быть (но там дано понятие открытого множества в топологии против Афинного пространства в Винберге), которую не изучал хорошо, и, в числовом множестве, быть может (Мат Анализ например, и, если не ошибаюсь, это понятие вообще в любом метрическом пространстве существует).
Объясните пожалуйста как у Винберга мне понять что есть окрестность множества в этой теме.

[Munin]

Если векторное пространство строится над $\mathbb{R}$ или $\mathbb{C},$ то топология у него возникает из топологии этих множеств: такое векторное пространство в конечномерном случае топологически устроено как $\mathbb{R}^n$ или $\mathbb{R}^{2n}.$ В общем, берёте открытые интервалы по всем координатам, и получаете открытый параллелепипед - пример открытого множества. Конечными пересечениями и бесконечными объединениями, из них можно получить все остальные открытые множества, в частности, любые шары, любые геометрические тела (максимальной размерности; внутренность без границы). Вот они и будут играть роль окрестности точки.

Если векторное пространство строится над произвольным полем, то боюсь, понятия окрестности в нём априорно не существует. Поле и конечным может быть, а на конечном топология либо дискретная, либо склеивающая точки, - в общем, скучная.

[Leon_06]

Munin в сообщении #1156478 писал(а):

Если векторное пространство строится над $\mathbb{R}$ или $\mathbb{C},$ то топология у него возникает из топологии этих множеств: такое векторное пространство в конечномерном случае топологически устроено как $\mathbb{R}^n$ или $\mathbb{R}^{2n}.$ В общем, берёте открытые интервалы по всем координатам, и получаете открытый параллелепипед - пример открытого множества. Конечными пересечениями и бесконечными объединениями, из них можно получить все остальные открытые множества, в частности, любые шары, любые геометрические тела (максимальной размерности; внутренность без границы). Вот они и будут играть роль окрестности точки.

Если векторное пространство строится над произвольным полем, то боюсь, понятия окрестности в нём априорно не существует. Поле и конечным может быть, а на конечном топология либо дискретная, либо склеивающая точки, - в общем, скучная.

Благодарю, пропустил то, что там был переход с пространств над произвольным полем К на вещественное векторное ассоциированное с Афинным. Кокраз таки давалось определение параллелепипеда в Евклидовом и говорилось о векторизации аффинного пространства - вот оно и всё. Наконец разобрался !

[Munin]

"Как раз-таки".

Рад за вас!

[Leon_06]

Munin в сообщении #1156505 писал(а):

"Как раз-таки".

Рад за вас!

Я вот теперь задумался, доказывая кое что, прежде не задавшись этим вопросом: окрестность эта в n-мерном пространстве, по аналогии с арифметическим n-мерным тоже должна иметь все n измерений, т.е содержать Одину из систем базисных векторов.

[Munin]

Да, всё правильно!