стереометрия (сфера)

[Rony]

Дана сфера с радиусом 12. Сечением этой сферы плоскостью является окружность с диаметром АВ. Плоскость сечения удалена от центра сферы на расстояние 4. Точка D выбрана на сфере, а точка С - на окружности сечения так, что объём пирамиды ABCD наибольший. Найдите площадь треуголника DMN, где M и N - середины рёбер AC и BC соответственно.

У меня получился ответ: $8\sqrt5, в ответах 96. Не могу понять, в чём ошибка...

У меня получилось, что объём пирамиды наибольший, если в основании р/б прямоугольный треугольник, высота проецируется в центр сечения (середину AB - т. О). Тогда DO=AO=BO=CO=8. MN-средняя линия и равна 4. Пусть DH-высота в треугольнике MND. По т. Пифагора в треугольнике DOH: $DO^2+OH^2=8^2+4^2=DH^2
$DH=4\sqrt5
$S=8\sqrt5

[Sensile]

Rony
У Вас ошибки в вычислениях
$AO=8{\sqrt{2}}, AB=16{\sqrt2}, DO=16, MN=8\sqrt2, DH=12\sqrt2$

[Rony]

Про AD понятно, я брала меньшую пирамиду. Но почему $AO=8\sqrt2? Ведь у той меньшей пирамиды, допустим, ABCQ, QO=8, соответственно OB=OA=8 как радиус...
Совсем запуталась

[NoSmoking!]

Rony писал(а):

Но почему $AO=8\sqrt2$?

Потому что $AOO_s$ ($O_s$ - центр сферы) - прямоугольный треугольник, отсюда
$ AO = \sqrt{AO_s^2 - OO_s^2} $, т.е. $ AO = \sqrt{144 - 16} = \sqrt{2^7} = 8\sqrt{2}$

Цитата:

У меня получилось, что объём пирамиды наибольший, если в основании р/б прямоугольный треугольник

В основании пирамиды вроде как всегда будет прямоугольный.

Извиняюсь за оффтопик: а откуда эта задача?

[Sensile]

Rony
Насчет меньшей пирамиды я не поняла, я следовала Вашим первоначальным рассуждениям.
Забудем пока о пирамиде.
Пусть $O_1$ -центр шара, О- середина диаметра АВ. Если Вы опускаете перпендикуляр из точки $O_1$ на плоскость сечения, то его основание совпадет с О. Поэтому $O_1O=4, AO_1=12$. По теореме Пифагора $AO=\sqrt{12^2-4^2}=8\sqrt2, AB=16\sqrt2$. СО - медиана, проведенная к гипотенузе: $CO=8\sqrt2$, $MN$ - средняя линия $MN=8\sqrt2$.
Теперь насчет высоты пирамиды. Если, как Вы говорите, ее основание совпадает с точкой О, то DO будет проходить через центр шара $O_1$, поэтому $DO=DO_1+O_1O=12+4=16$. Далее как у Вас: пусть DH-высота в треугольнике MND. По т. Пифагора в треугольнике DOH: $DO^2+OH^2=DH^2$. Только $OH=4\sqrt2$
P.S. Ну вот, пока я набирала, Вам уже ответили

Добавлено спустя 5 минут 13 секунд:

NoSmoking!
Да, в основании пирамиды всегда будет прямоугольный треугольник, поскольку угол С опирается на диаметр. Но наибольшую площадь этот треугольник будет иметь в случае, когда он равнобедренный

[NoSmoking!]

Цитата:

Но наибольшую площадь этот треугольник будет иметь в случае, когда он равнобедренный

Кстати, а как это доказать без производных?

[Rony]

спасибо, всё ясно!
NoSmoking!, задача из ЕГЭ, С4.
про р/б треугольник: можно воспользоваться тем фактом, что из всех вписанных четырёхугольников наибольшую площадь имеет квадрат, поэтому у нас будет р/б прямоугольный треугольник.
Или через площадь: высота из прямого угла на AB, тогда высота будет наибольшая, если будет равна радиусу, поэтому треугольник р/б.
Мне кажется, так.

[NoSmoking!]

Цитата:

что из всех вписанных четырёхугольников наибольшую площадь имеет квадрат

Пока я и это не докажу, это будет не факт, а предположение...

Цитата:

задача из ЕГЭ, С4

А, ну тогда довольно мило. Там же можно применять производные.

[Sensile]

NoSmoking! писал(а):

Цитата:

что из всех вписанных четырёхугольников наибольшую площадь имеет квадрат

Пока я и это не докажу, это будет не факт, а предположение...

Цитата:

задача из ЕГЭ, С4

А, ну тогда довольно мило. Там же можно применять производные.

Использовать здесь производные - что из пушки по воробью.
Гораздо лучше использовать тот факт, что высота треугольника не больше его медианы и равна ей только в случае равнобедренного треугольника
В этой задаче труднее обосновать максимум объема пирамиды (то есть ту часть, что связана еще и с высотой пирамиды)

[NoSmoking!]

По-моему, как-то так ($ R_c $ - радиуc cечения):

$ H_{c} \leq R_c $, $ H \leq 12 + 4 $
$ V_{DABC} = \frac{1}{3} \frac{AB * H_{c}}{2} H \leq \frac{1}{3} \frac{2 R_c^2}{2} * (12 + 4) $
То еcть макcимальный объем будет тогда, когда $ H_{c} = R_c $, а $ H = 16 $

[Sensile]

NoSmoking!
Ну да, как-то так.
Для меня лично вопрос заключается в том, как показать, что максимальная высота $H$ будет равна 16, то есть почему $ H \leq 12 + 4 $
Это вроде очевидно, но цит: Пока я и это не докажу, это будет не факт, а предположение... (с)

[NoSmoking!]

Высота пирамиды должна быть перпендикулярна плоскости основания.
Отсюда следует, что можно рассматривать только хорды, перпендикулярные плоскости $ ABC $.
А самая длинная хорда - диаметр. Из всех диаметров перпендикулярный плоскости основания будет только один.

[Sensile]

NoSmoking!
Однако высота пирамиды - не хорда
Фактически мы имеем дело со стереометрическим аналогом предыдущей промежуточной задачи: имеется шаровой сегмент, нужно доказать, что на наибольшем расстоянии от основания сегмента находится точка пересечения сегмента и перпендикуляра, восстановленного из центра основания сегмента.
Наверное, это легко доказывается - мне просто не было необходимости думать.