Набор трех чисел (а, b, c)

[daogiauvang]

Дано $n$ вещественных чисел. Доказать, что всегда можно найти набор трех чисел, которые удовлетворяется условию $a+b, b+c, c+a$ либо все являются рациональными числами, либо все не являются рациональными числами.
а) При $n=6.$
b) При $n=5.$

[DeBill]

Будем работать в фактор-группе $\mathbb{R}/\mathbb{Q}$, $n=5$.
Если есть три нулевых числа - все хорошо.
Если нулей один или два: среди ставшихся трех есть пара непротивоположных - возьмем их и нуль.
Если нулей нет: есть три попарно непротивоположных....

[daogiauvang]

Последний случай: если нет нулей? как мы решим. Я тоже не понял откуда $0$ и пара противположных как определяется?

[scwec]

Для $n=6$ задача №3 из Шклярский, Ченцов, Яглом ч.1 про трех из шести попарно знакомых-незнакомых.

[daogiauvang]

scwec в сообщении #1156358 писал(а):

Для $n=6$ задача №3 из Шклярский, Ченцов, Яглом ч.1 про трех из шести попарно знакомых-незнакомых.

Да мне интересно при n=5 и случай третий: все существенные числа.

[DeBill]

daogiauvang
"Противоположные" (в фактор-группе) - те, сумма которых рациональная.
Последний случай - это случай, когда все пять - иррациональны.
Раскладываем числа в кучки : "равные" (т.е., отличающиеся на рациональное) - в одну и ту же кучку.
Если есть три "непротивоположных" кучки - берем из каждой по числу.
Если нет, то имеем:
либо у нас кучки $a,-a,b,-b$ - и тогда в одной из них - пара чисел; добавим третье - непротивоположное.
либо есть всего две кучки $a, - a$ - и тогда в одной из них - три числа....