Об операторе фазы

[amon]

g______d в сообщении #1155310 писал(а):

Эти два выражения, как раз, равны вообще всегда по определению. Равенство без крестика, да, равносильно симметричности оператора, но не очевидно, почему вообще нужно его постулировать.

Тут виноват, рука дрогнула. Хотел написать $\langle x|Ay\rangle$ и $\langle A^+ y|x\rangle$. А чем Вам не нравится такая стандартная рассудюшка? Средние координат и импульсов должны быть вещественны из принципа соответствия (в классике принято их вещественными считать). Отсюда для любой $|\psi\rangle\quad \langle\psi|\hat{Q}\psi\rangle=\langle\psi|\hat{Q}^+\psi\rangle$, т.е. оператор "координаты" самосопряженный, аналогично для канонически сопряженного импульса. Поскольку всё (по крайней мере, в механике) только из координат и импульсов строится, то и все прочие моменты количества движения тоже окажутся ... вот тут задумался, видимо, симметричными.

[Munin]

g______d в сообщении #1155310 писал(а):

Слева первой страницы pdf

Сам по себе PDF - большой файл, и не всегда открывается в броузере... в общем, ссылка на PDF - бо́льшая морока.

-- 28.09.2016 03:19:44 --

(Оффтоп)

amon в сообщении #1155312 писал(а):

Средние координат и импульсов должны быть вещественны из принципа соответствия (в классике принято их вещественными считать).

Ну, на это мы можем наплевать, пусть они будут вещественными только в пределе...

[g______d]

amon в сообщении #1155312 писал(а):

Средние координат и импульсов должны быть вещественны из принципа соответствия (в классике принято их вещественными считать).

Для обычных координат и импульса -- да.

amon в сообщении #1155312 писал(а):

все прочие моменты количества движения тоже окажутся

Тут не понятно. Вот в классической механике есть переменная угол -- она какая? Можно считать, что вещественная (и мучиться с $2\pi$), а можно считать, что комплексная, по модулю равная единице.

Вообще это довольно сложный вопрос, как квантовать системы с циклическими координатами или, например, системы, конфигурационное пространство которых -- многообразие.

amon в сообщении #1155312 писал(а):

видимо, симметричными.

В данном случае разница между симметричными и самосопряжёнными операторами не принципиальна; обычно симметричность означает только то, что мы не до конца определили оператор, и доопределить почти никогда не проблема.

[amon]

Такой еще аргумент за эрмитовость. Вероятность перехода под действием некой "силы", описываемой оператором $A$ (по природной лени я буду дальше операторы обозначать большими буквами без шапочки, а вектора - маленькими) из состояния $|y\rangle$ в состояние $|x\rangle$ есть $\langle x|Ay\rangle\langle y|A^+x\rangle$. Если $A$ не самосопряжен, то вероятность обратного перехода из $x$ в $y$ будет отличаться от вероятности прямого. Однако, эксперимент показывает, что эти вероятности равны.

[Munin]

g______d в сообщении #1155315 писал(а):

Вообще это довольно сложный вопрос, как квантовать системы с циклическими координатами или, например, системы, конфигурационное пространство которых -- многообразие.

А чем не годится топорно-лаптевый подход: берём комплексно-значную функцию распределения, размазанную по конфигурационному пространству, и дальше нам нужен оператор эволюции, переводящий пространство таких функций в себя, а кроме того, логарифм такого оператора, ну и $i$ на логарифм. Получится какая-то алгебра операторов, и всё уже, её можно описывать.

(Продолжая трепаться далеко за пределами понимания...)

[Red_Herring]

Вот этот самый логарифм от унитарного оператора как определить? Если мы знаем, что спектр последнего имеет дырку на окружности, скажем $-1$, тогда хорошо...

[Osmiy]

(Оффтоп)

amon в сообщении #1155263 писал(а):

"Какова природа сухого трения".

Электромагнитная.

[Munin]

Red_Herring в сообщении #1155352 писал(а):

Вот этот самый логарифм от унитарного оператора как определить?

Как алгебру, касательную к группе.

(Оффтоп)

(конец длинного анекдота)...
- Дорогая, ты у меня такая умная, ну придумай что-нибудь сама!

[g______d]

Munin в сообщении #1155407 писал(а):

Как алгебру, касательную к группе.

Munin в сообщении #1155347 писал(а):

(Продолжая трепаться далеко за пределами понимания...)

И эти люди запрещают мне ковыряться в носу жалуются на сложность математики... При том, что никаких алгебр и касательных пространств не нужно, это просто функция от матрицы и невозможность выделить ветвь логарифма, непрерывную на окружности.

Но я вот к чему: очевидно, сам этот унитарный оператор более физичен, чем любая процедура разворачивания его на прямую, поэтому теория должна уметь работать с ним напрямую.

amon в сообщении #1155317 писал(а):

Такой еще аргумент за эрмитовость. Вероятность перехода под действием некой "силы", описываемой оператором $A$ (по природной лени я буду дальше операторы обозначать большими буквами без шапочки, а вектора - маленькими) из состояния $|y\rangle$ в состояние $|x\rangle$ есть $\langle x|Ay\rangle\langle y|A^+x\rangle$. Если $A$ не самосопряжен, то вероятность обратного перехода из $x$ в $y$ будет отличаться от вероятности прямого. Однако, эксперимент показывает, что эти вероятности равны.

Не очевидно, почему такая интерпретация есть у любой наблюдаемой, даже для самосопряжённой. Но не уверен.

[Munin]

g______d в сообщении #1155432 писал(а):

И эти люди жалуются на сложность математики... При том, что никаких алгебр и касательных пространств не нужно, это просто функция от матрицы и невозможность выделить ветвь логарифма, непрерывную на окружности.

Да, лично я жалуюсь. Потому что алгебра, касательная к группе, для меня намного проще, чем связь функции от матрицы и ветвления логарифма.

g______d в сообщении #1155432 писал(а):

Не очевидно, почему такая интерпретация есть у любой наблюдаемой

Мне тоже. Почему наблюдаемая вдруг должна быть "силой"? Эксперимент показывает вышеназванное только для некоторых гамильтонианов.

[g______d]

Munin в сообщении #1155453 писал(а):

Да, лично я жалуюсь. Потому что алгебра, касательная к группе, для меня намного проще, чем связь функции от матрицы и ветвления логарифма.

Если для вас линейная алгебра и элементарные функции на уровне первого курса сложнее, чем "алгебры, касательные к группе", то вы просто не понимаете ни того, ни другого.

Не говоря уже о том, что в данном случае никакой группы нет, а есть один унитарный оператор, от которого нужно определить логарифм. Чтобы получить из одного оператора однопараметрическую группу, нужны все его вещественные степени, для получения которых, внезапно, понадобится тот же самый логарифм.

[Munin]

g______d в сообщении #1155481 писал(а):

Если для вас линейная алгебра и элементарные функции на уровне первого курса сложнее, чем "алгебры, касательные к группе", то вы просто не понимаете ни того, ни другого.

Простите, в мой курс линейной алгебры не входило ветвление логарифма. Ни на первом, ни на втором курсе. Может, это потому, что я не по математической специальности учился, ну вот, факт.

g______d в сообщении #1155481 писал(а):

Не говоря уже о том, что в данном случае никакой группы нет, а есть один унитарный оператор, от которого нужно определить логарифм.

Ну что вы. Есть один унитарный оператор, а есть всё множество всевозможных таких операторов. Они что, не образуют группу?

[Red_Herring]

Munin в сообщении #1155500 писал(а):

Они что, не образуют группу?

 Образуют, бесконечномерную группу. Оно Вам надо? В алгебре то будут неограниченные операторы, и как их коммутаторы брать?

[Утундрий]

Munin в сообщении #1155500 писал(а):

Простите, в мой курс линейной алгебры не входило ветвление логарифма.

Разумеется, так как сие входит в "элементарные функции первого курса по g______d"

P.S. А если серьёзно, то в ТФКП.

[g______d]

Здесь нужна только главная ветвь. Ну и понимание того, что ветвь в принципе нужна. Это входит в школьную программу даже по Munin.

-- Ср, 28 сен 2016 11:11:39 --

Munin в сообщении #1155500 писал(а):

Ну что вы. Есть один унитарный оператор, а есть всё множество всевозможных таких операторов. Они что, не образуют группу?

Образуют, и что? Как вы по этим данным построите логарифм фиксированного оператора?