Основная теорема арифметики

[druggist]

Пусть $G$ есть сумма показателей степеней в разложении какого-либо натурального числа $N$ на простые множители. Зафиксируем G, обозначим $N_G$ - любое натуральное число, в факторизации которого сумма показателей степеней не превышает $G$ (введя простое число 1 можно сказать, в точности равна $G$). Построим зависимость $\Gamma_G(E)$, где $E=\operatorname{Ln(N)}$, $N$ пробегает последовательность натурального ряда, $\Gamma=N_G$, $N_G$ -возрастающая последовательность чисел натурального ряда, которые можно факторизовать с помощью $G$. Очевидно, до некоторого $N(G)^*$ зависимость $\Gamma(E)$ есть просто $\Gamma(E)=\exp(E)$, а далее зависимость должна "загибаться", поскольку для факторизации всех подряд натуральных чисел больших $N(G)^*$ $G$ должно увеличиваться. Вопрос, какова зависимость $N(G)^*$ -"точки перегиба", и асимптотика $\Gamma (E)$ при больших $G$. Можно ли это где-нибудь посмотреть?

[mihaild]

Непонятно. Что такое $\Gamma_G$ (видимо, функция - какая?), что такое $\Gamma$, $N_G$ и т.д.
Включив телепатию, можно попробовать предположить, что вы для каждого $G$ фиксируете своё $N_G$ - число, сумма степеней в разложении которого не превосходит $G$. Но что дальше?

[druggist]

mihaild в сообщении #1155117 писал(а):

Что такое $\Gamma_G$ (видимо, функция - какая?)

Конечно, можно построить зависимость $N_G(N)$ (до некоторого $N^*$ 'это будет прямая, а потом "загиб") Почему для представления зависимости выбраны такие переменные $\Gamma(E)$ и $E$ это вопрос, к данному не относящийся (хотя без всякой телепатии можно понять "откуда ноги растут")

[svv]

mihaild спрашивает, что такое $\Gamma_G$ — это нигде не объяснено. Я присоединяюсь.

[mihaild]

druggist в сообщении #1155177 писал(а):

Конечно, можно построить зависимость $N_G(N)$

Непонятно, что за зависимость - она как-то строится, или выбирается произвольно, чтобы подходила под какие-то ограничения?

Неважно, какими буквами что обозначать, но нужно писать, что значат обозначения.
Давайте по шагам тогда.

druggist в сообщении #1155109 писал(а):

Зафиксируем G, обозначим $N_G$ - любое натуральное число, в факторизации которого сумма показателей степеней не превышает $G$

Т.е. введем функцию $N: \mathbb{N} \to \mathbb{N}$, такую, что число делителей $N(G)$ не превосходит $G$?
Если нет, то что значит "$N_G$ - любое натуральное число"?

Если да, то напишите, что такое $\Gamma_G(E)$ - если функция, то на каком множестве и как определенная, если нет, то что?

[druggist]

mihaild в сообщении #1155179 писал(а):

Непонятно, что за зависимость - она как-то строится, или выбирается произвольно, чтобы подходила под какие-то ограничения?

Строится экспериментально. Например, $G=3$, тогда, если я не ошибаюсь, $N^*= 15 $. До $N=15$ включительно $N_G=N$, но $N_G(16)=15$, поскольку в число 16 "входят" уже 4 простых сомножителя 2. При дальнейшем увеличении $N$ таких нефакторизуемых чисел будет все больше.

svv в сообщении #1155178 писал(а):

mihaild спрашивает, что такое $\Gamma_G$ — это нигде не объяснено. Я присоединяюсь.

Да, конечно, $\Gamma_G \equiv N_G$ (число уровней c энергиями $\leqslant E=\operatorname{Ln(N)} $ )

[Xaositect]

Давайте еще раз и с начала.
Я правильно понимаю, что Вас интересует функция, которая каждому натуральному числу $N$ сопоставляет максимальное число $N_G \leqslant N$, имеющее не более $G$ сомножителей в разложении на простые?

[druggist]

Xaositect в сообщении #1155191 писал(а):

Я правильно понимаю, что Вас интересует функция, которая каждому натуральному числу $N$ сопоставляет максимальное число $N_G \leqslant N$, имеющее не более $G$ сомножителей в разложении на простые?

Да, по-видимому, именно такая

[Xaositect]

Асимптотика будет следовать из теорем типа постулата Бертрана. Из самого постулата Бертрана следует, что даже для $G = 1$ уже будет $N_1 > N/2$, а из более современных результатов $N_1 > N - o(N)$ (https://en.wikipedia.org/wiki/Prime_gap). Первое число, где будет расхождение - это, очевидно, $2^{G+1}$, минимальное число, требующее больше $G$ простых в разложении.

[druggist]

Xaositect в сообщении #1155202 писал(а):

Асимптотика будет следовать из теорем типа постулата Бертрана. Из самого постулата Бертрана следует, что даже для $G = 1$ уже будет $N_1 > N/2$, а из более современных результатов $N_1 > N - o(N)$

Спасибо, надо будет посмотреть

Xaositect в сообщении #1155202 писал(а):

Первое число, где будет расхождение - это, очевидно, $2^{G+1}$, минимальное число, требующее больше $G$ простых в разложении.

Только что сам догадался, опередили

-- Вт сен 27, 2016 19:55:37 --

Xaositect в сообщении #1155202 писал(а):

а из более современных результатов $N_1 > N - o(N)$

Это что-то уж больно круто, в прямом смысле

[druggist]

druggist в сообщении #1155205 писал(а):

Это что-то уж больно круто, в прямом смысле

Это я к тому, что $N_1$ по смыслу функция, считающая простые числа (увеличивающаяся на единичку только при каждом простом $N$), ее асимптотика, как известно, $N/ \ln(N)$

[Xaositect]

Я так понял, что $N_1$ - это последовательность простых чисел, ограниченная сверху $N$, т.е. $1,2,3,3,5,5,7,7,7,7,11,11,13,13,13,13,17,17,19,19,\dots$

[druggist]

Xaositect в сообщении #1155222 писал(а):

это последовательность простых чисел,

Я имел в виду под $N_1$ последовательность натуральных чисел, увеличивающихся на единицу при каждом простом $N$

$1, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 9, ...$

Если $G=2$, то $N_2$ будет считать простые и двусоставные числа. Видимо, я поторопился, не до конца понял Ваше определение

[druggist]

Оказывается, ТС уже интересовался данным вопросом:
http://dxdy.ru/topic103608-45.html