Квантование скалярного поля с нулевым граничным условием

[tech]

Здравствуйте.

Возник вопрос по квантованию безмассового скалярного поля, зануляющегося при $x=0$, то есть $\phi(t,x=0)=0$ – для простоты пространство-время двумерное. Поле рассматривается при $x\geqslant0$.

В качестве гармоник, очевидно, нужно взять $e^{-i\omega t}\sin(\omega x)$, и тогда поле представляется в виде:

$$\phi(t,x)=\int_{0}^{\infty}\frac{d\omega}{2\pi}\frac{1}{\sqrt{2\omega}}{\big[a_\omega e^{-i\omega t}\sin(\omega x)+ \operatorname{h.c.}\big]}$$

Требуем:

$$\big[\phi(x,t),\ \partial_{t}\phi(y,t)\big]=i\delta(x-y);\ [a_\omega,\ a_{\omega'}^\dag]=2\pi\delta(\omega-\omega')$$

Если посчитать коммутатор $\phi$ и $\pi=\partial_{t}\phi$, воспользовавшись комутационными соотношениями выше, то должно получиться (постоянный множитель утерян):

$$i\delta(x-y)\sim i\int_{0}^{\infty}d\omega \sin(\omega x) \sin(\omega y)\ \ (*)$$

С одной стороны, синусы и косинусы образуют полную систему функций, и должно быть соотношение типа написанного.
С другой стороны,

$$i\int_{0}^{\infty}d\omega \sin(\omega x) \sin(\omega y)=\frac{1}{4i}\int_{0}^{\infty}d\omega(e^{i\omega x}-e^{-i\omega x})(e^{i\omega y}-e^{-i\omega y})=$$

$$=\frac{1}{4i}\int_{0}^{\infty}d\omega(e^{i\omega (x+y)}+e^{-i\omega (x+y)}-e^{i\omega (x-y)}-e^{-i\omega (x-y)})=\frac{1}{4i}\int_{-\infty}^{+\infty}d\omega(e^{i\omega(x+y)}-e^{i\omega(x-y)})=$$

$$=\frac{i}{4}\big[ \delta(x-y)-\delta(x+y)\big]$$

Собственно, вопрос в том, как делать правильно: расписывать синусы через экспоненты, игнорируя слагаемое $\delta(x+y)$, или пользоваться соотношением $(*)$?

[Munin]

Я прошу заметить, что $\delta(x+y)\ne 0$ только на границе вашего полупространства, и вопрос сводится к тому, сколько степеней свободы у поля в точке $x=0.$ Что условиями не оговорено, и вы можете выбирать как хотите.

[tech]

Да, то, что $\delta(x+y)$ отлична от $0$ только на границе, я заметил. А вот комментария по поводу числа степеней свободы не понял. Можно в этом месте поподробнее?

Правильно ли я понял, что можно представить дельта-функцию хоть первым, хоть вторым способом? Это эквивалентные способы? Если нет, то в чём отличия?

Если я выберу способ $(*)$ и захочу написать гамильтониан, то мне понадобится ещё знать интеграл $\int_{0}^{\infty} d\x \cos(\omega x) \cos(\omega' x)$. Получится, что мне ему придётся приписать значение $\delta(\omega-\omega')$, что называется, руками.


А можно в качестве гармоник выбрать $\frac{1}{\sqrt{2\omega}}e^{-i\omega t}(1-e^{i\omega x})$ (почти $\sin(\omega x)$, но не совсем)?

Тогда прокоммутировав $\phi$ и $\pi$, получится что-то вроде

$$\int_{0}^{\infty} d\omega (1-e^{i\omega x})(1-e^{i\omega y})$$

и это совсем не похоже на нужную дельта-функцию. Видимо, так уже нельзя?