Углы Эйлера

[knoppix_96]

Встал в некий стопор с задачей, кажется с пространственной соображалкой туго, суть такова:

Круговой конус с углом при вершине $\frac{\pi}{3}$, лежит на боку на горизонтальной поверхности. Связанная с конусом система координат и её ориентация относительно неподвижной системы отсчета для лежащего конуса изображены на рисунке.
Конус из положения, указанного выше, прокатился по поверхности без проскальзывания так, что его ось симметрии повернулась вокруг оси Oz на угол $\frac{\pi}{2}$. Определите углы Эйлера в получившемся положении конуса.
Получается исходное изображение такое:

После изменение положения получим следующую картинку:


То есть получаем следующие углы: угол прецессии: $\psi=\frac{\pi}{2}$, угол нутации: $\theta=\frac{\pi}{3}$, угол собственного вращения: $\varphi=0$
Или я где-то накосячил с построениями и знаками? На чертеже угол между линией и осью x - $\frac{\pi}{2}$, опечатка.

[warlock66613]

Это устная задача на понимание физического смысла углов Эйлера.

Несложно посчитать, что угол развёртки конуса равен $\pi$, а значит — раз конус катился без проскальзывания — для полного оборота конуса вокруг своей оси (чтобы угол собственного вращения был нулевой) нужно, чтобы ось конуса также повернулась на $\pi$, а она повернулась только на $\frac {\pi} 2$.

[knoppix_96]

warlock66613
Я понимаю что задача устная, но что-то не сходится у меня, получается я не верно определил направление линии узлов? Как я понимаю угол нутации однозначно будет $\theta=\frac{\pi}{3}$, здесь я прав? Далее угол прецессии $\psi=\frac{\pi}{2}$, только вопрос в знаке. И угол собственного вращения $\pi$? Или я продолжаю быть не прав и чертеж по которому я делаю выводы не верен?

[warlock66613]

knoppix_96, да, угол собственного вращения будет равен $\pi$.
Угол прецессии будет, конечно, положительным, так как это и будет угол, на который повернулась ось конуса, а он по условию положительный.
На чертеже по-моему какое-то странное направление у линии узлов и оси, которую вы обозначили на этом рисунке $Ox'$, но может это просто так кажется.

[knoppix_96]

warlock66613, с углом собственного вращения я разобрался, теперь понимаю что это вообще такое. Угол нутации вопросов не вызывает, как я понимаю при качении он будет постоянным, и указан в условиях задачи. Осталось окончательно понять угол прецессии, как я понимаю, он повернется на $\frac{\pi}{2}$.Это если обсуждать лежащий на боку конус и его качение вокруг оси Oz на угол $\frac{\pi}{2}$. Тогда в итоге ответ должен быть:
угол прецессии: $\psi=\frac{\pi}{2}$, угол нутации: $\theta=\frac{\pi}{3}$, угол собственного вращения: $\varphi=\pi$. Я прав? Мне кажется что нет :(

[warlock66613]

Вообще, имхо, увидеть на чертеже куда именно должна быть направлена линия узлов и в какую сторону от неё надо считать положительный угол собственного вращения довольно сложно.

Проверить же результат можно, например, найдя из углов матрицу преобразования координат по известным формулам, затем применив её к ортам (исходной системы координат) и оценив правильной получившихся координат ортов повёрнутой системы.

-- 25.09.2016, 20:08 --

knoppix_96 в сообщении #1154559 писал(а):

Я прав?

Да.

[knoppix_96]

warlock66613 в сообщении #1154560 писал(а):

Вообще, имхо, увидеть на чертеже куда именно должна быть направлена линия узлов и в какую сторону от неё надо считать положительный угол собственного вращения довольно сложно.

Проверить же результат можно, например, найдя из углов матрицу преобразования координат по известным формулам, затем применив её к ортам (исходной системы координат) и оценив правильной получившихся координат ортов повёрнутой системы.

-- 25.09.2016, 20:08 --

knoppix_96 в сообщении #1154559 писал(а):

Я прав?

Да.

Вставил ответ в тест, пишет не верно, не получается на глаз, видимо придется с утра как вы предложили сделать, думаю тогда и понятно будет где ошибка.

[warlock66613]

knoppix_96 в сообщении #1154559 писал(а):

Осталось окончательно понять угол прецессии, как я понимаю, он повернется на $\frac{\pi}{2}$.Это если обсуждать лежащий на боку конус и его качение вокруг оси Oz на угол $\frac{\pi}{2}$

Здесь не важно на самом деле, лежит ли конус на боку, катится ли он с проскальзыванием или без — это всё влияет на угол собственного вращения, а угол прецессии, по сути, по определению является углом поворота оси тела ($Oz'$) вокруг $Oz$, так что, как и угол нутации, он указан в условии.

-- 25.09.2016, 20:16 --

knoppix_96 в сообщении #1154562 писал(а):

Вставил ответ в тест, пишет не верно

Попробуйте написать угол собственного вращения $-\pi$. В общем-то это одно и то же, но учитывая что конус всё-таки вращался в отрицательном направлении...

[knoppix_96]

warlock66613
Неа, не сработало. Вообще странно в примере задачи где скольжение осуществляется на угол $\pi$, ответ получается такой:
$\psi=0$, угол нутации: $\theta=\frac{\pi}{3}$, угол собственного вращения: $\varphi=\pi$. Что выглядит странно.

[warlock66613]

knoppix_96, да, нулевой угол прецесии в случае скольжения выглядит очень странно. Как будто угол собственного вращения и угол прецессии перепутаны местами. Может дело в сбивающей с толку разнице обозначений?

[knoppix_96]

warlock66613
Вполне может быть, сейчас сижу разбираюсь. Но поменять местами обозначения углы собственного вращения и прецессии не вышло, все равно ответ не верный. Написал матрицы косинусов, сейчас посчитаю, и еще раз перепроверю обозначения.

[warlock66613]

knoppix_96, не знаю что такое матрицы косинусов, я выше имел в виду вот эту матрицу:

$$ \begin{pmatrix} \cos \alpha \cos \gamma - \sin \alpha \cos \beta \sin \gamma & -\cos \alpha \sin \gamma - \sin \alpha \cos \beta \cos \gamma & \sin \alpha \sin \beta \\ \sin \alpha \cos \gamma + \cos \alpha \cos \beta \sin \gamma & -\sin \alpha \sin \gamma + \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma & -\cos \alpha \sin \beta \\ \sin \beta \sin \gamma & \sin \beta \cos \gamma & \cos \beta \end{pmatrix} $$

Здесь $\alpha$ - угол прецессии, $\beta$ - угол нутации и $\gamma$ - угол собственного вращения.

[knoppix_96]

Это я и имел ввиду, пытаюсь соотнести приведенные примеры с реальностью, собственно в примерах разбирается вариант нахождения углов Эйлера задающих положение лежазего на боку конуса, и повернутого на $\pi$.
Для лежащего на боку конуса (как на втором части первого рисунка), приводится ответ: $\psi=\pi$, угол нутации: $\theta=\frac{\pi}{3}$, угол собственного вращения: $\varphi=\pi$

И матрица получается равной:

$$\begin{pmatrix} 1& 0&0 \\ 0& 0.5& -0.866 \\ 0& 0.866& 0.5 \end{pmatrix}$$

Как я понимаю верная матрица в данном случае будет равна:

$$\begin{pmatrix} 1& 0&0 \\ 0& 0.5& 0.866 \\ 0& -0.866& 0.5 \end{pmatrix}$$

-- 25.09.2016, 21:11 --

Отредактировал сообщение выше. Как я понимаю, для правосторонней системы координат если смотреть с конца оси в начало, положительным будет вращение против часовой стрелки, так же?

[warlock66613]

knoppix_96, ну да, первая матрица не сходится с поворотом на рисунке. Знак поворота получается не тот.

[knoppix_96]

warlock66613 в сообщении #1154591 писал(а):

knoppix_96, ну да, первая матрица не сходится с поворотом на рисунке. Знако поворота получается не тот.

Хоть дураком меньше себя ощущать стал, весь день сижу, не могу понять где проблема. Попробую тогда с учетом найденных косяков, подобрать правильный ответ.
Спасибо большое :)