Интересная задача

[sa233091]

Найти минимальное $a$ такое, что для любых $x,y \;((x > a) \wedge (y > a) \wedge (x > y))
верно: ${y^x} > {x^y}$

[Pphantom]

Абстрактный вопрос... зачем нужно первое условие из трех при наличии двух остальных?

[sa233091]

Pphantom в сообщении #1154376 писал(а):

Абстрактный вопрос... зачем нужно первое условие из трех при наличии двух остальных?

Просто так

-- 24.09.2016, 22:35 --

Введем обозначение $F(x) = {a^x} - {x^a}$ ($a$ - параметр).
Имеем $f'(x) = \ln (a){a^x} - a{x^{a-1}}$
Найдем экстремумы $f'({x_0}) = 0$
$\ln (a){a^x} - a{x^{a - 1}} = 0$
Такое уравнение, если мне не изменяет память вообще не разрешимо в элементарных функциях.
Хотя может уравнение не разрешимо в элементарных функциях, а вот значение минимума этой функции мы посчитаем.

[gris]

Неели?

[svv]

Лучше рассмотрите функцию $\frac{\ln x}{x}$. Она где-то возрастает (и там всё плохо), где-то убывает (и там всё хорошо).

[sa233091]

svv в сообщении #1154387 писал(а):

Лучше рассмотрите функцию $\frac{\ln x}{x}$. Она где-то возрастает (и там всё плохо), где-то убывает (и там всё хорошо).

А при чем ту эта функция?

[svv]

Допустим, $x$ и $y$ выбраны из промежутка $M$, где эта функция убывает. Это хорошо, потому что тогда
$x>y \Rightarrow \frac{\ln x}{x}<\frac{\ln y}{y} \Rightarrow ...$ что дальше можно отсюда вывести?

[sa233091]

Спс за подсказку, попробую так

[wrest]

Есть такое вещественное число (пусть для конспирации будет $b$), что $\forall x>0, x \not=b$, b^x>x^b
Видимо, оно и является ответом.

-- 26.09.2016, 00:26 --

sa233091 в сообщении #1154377 писал(а):

$\ln (a){a^x} - a{x^{a - 1}} = 0$
Такое уравнение, если мне не изменяет память вообще не разрешимо в элементарных функциях.

Ну один-то корень прямо-таки просится :)

[sa233091]

wrest в сообщении #1154671 писал(а):

Ну один-то корень прямо-таки просится :)

И какой?

[svv]

sa233091
Получилось через функцию?

[wrest]

sa233091 в сообщении #1154722 писал(а):

И какой?

При $a=e$ просится корень $x=e$ и дальше я бы попробовал посмотреть, есть ли корни при $a>e$ и при $a<e$

[sa233091]

svv в сообщении #1154972 писал(а):

sa233091
Получилось через функцию?

Получилось $\[\min (a) = e\]$

[svv]

sa233091
Да. Исследование $\frac{\ln x}{x}$ показывает, что она возрастает на $(0,e]$ и убывает на $[e,\infty)$.

Поэтому из $e<y<x$ следует
$\frac{\ln x}{x}<\frac{\ln y}{y} \Rightarrow y\ln x<x\ln y\Rightarrow x^y<y^x$,
как и требуется.

Из $0<y<x<e$ следует, наоборот,
$y^x<x^y$,
поэтому число $a$ не может быть меньше $e$.

Если взять $0<y<e<x$, можно получить неравенство любого знака:
$2^3<3^2$
$2^4=4^2$
$2^5>5^2$