Бесформульное отображение множеств

[Sinoid]

Здравствуйте! Проверьте, пожалуйста, мои рассуждения до конца в одном месте доказательства теоремы Бернштейна, я до этого имел дело только с отображениями, выражаемыми формулами, а тут более общий подход. И заодно помогите разобраться с одним местом в нем. Теорема с доказательством вот (окончание на следующей странице):

а вот мой анализ места в конце страницы:
(а) 1) Пусть $m_{1}\in A$, $m_{2}\in A$. В этом случае элементы $n_{1}$, $n_{2}$, соответствующие элементам $m_{1}$, $m_{2}$ будут находиться как элементы, соответствующие этим элементам, в первом 1-1 соответствии: $m_{1}\overset{1}{\longleftrightarrow}n_{1}$, $m_{2}\overset{1}{\longleftrightarrow}n_{2}$. Тогда если $m_{1}\ne m_{2}$, то будет и $n_{1}\ne n_{2}$. При этом, если для некоторых натуральных $i$, $j$ $m_{1}\in A_{i}$, $m_{2}\in A_{j}$, то будет и $n_{1}\in B_{i+1}$, $n_{2}\in B_{j+1}$. Этим доказана инъективность отображения $A\overset{1}{\longmapsto}B$. Обратно, если $n\in B$ , то существует такое натуральное $k>0$, что $n\in B_{k}$, и, значит, в $A$ существует прообраз элемента $n$при соответствии 1. Этим доказана сюръективность отображения $A\overset{1}{\longmapsto}B$. Итак, установлено, что $A\overset{1}{\longleftrightarrow}B$ ;
2) Пусть $m_{1}\in M-A$, $m_{2}\in M-A$ и при этом $m_{1}\not=m_{2}$. В этом случае элементы $n_{1}$, $n_{2}$, соответствующие элементам $m_{1}$, $m_{2}$ будут находиться как элементы множества $N$, соответствующие этим элементам, во втором 1-1 соответствии, что, однако, не противоречит условию, т.к. в этом случае, например, $m_{1}\notin A$, откуда $m_{1}\notin A_{0}$, и, значит, $m_{1}\in M_{1}$. Так же установлю, что в данном случае $m_{2}\in M_{1}$. Итак, пусть $n_{1}\overset{2}{\longleftrightarrow}m_{1}$, $n_{2}\overset{2}{\longleftrightarrow}m_{2}$. Тогда, если бы было $n_{1}=n_{2}$
, то, ввиду однозначности второго отображения было бы и $m_{1}=m_{2}$
, что противоречит условию. Отсюда $n_{1}\not=n_{2}$. Я ведь нигде не ошибся? А вот почему, к примеру, здесь $n_{1}\in N-B$?

-- 22.09.2016, 23:58 --

У меня, почему-то вертится вот такое начало рассуждения: Допустим, что $n_{1}\in B$, а именно $n_{1}\in B_{i}$ для некоторого натурального $i>0$. Тогда в $A_{i-1}$, а, значит, и в $A$, существует такое $a$, что $a\overset{1}{\longleftrightarrow}n_{1}$

[arseniiv]

Если $n_1\in B$, тогда $m_1\in A\setminus A_0\subset A$ по построению этих множеств, но по условию $m_1\notin A$.

(Формулы)

Можно не ставить фигурные скобки вокруг индекса, когда он длиной в один символ.

-- Пт сен 23, 2016 01:09:18 --

Sinoid в сообщении #1153689 писал(а):

Тогда в $A_{i-1}$, а, значит, и в $A$, существует такое $a$, что $a\overset{1}{\longleftrightarrow}n_{1}$

Не, это ничего не даст.

[Sinoid]

arseniiv в сообщении #1153698 писал(а):

Если $n_1\in B$, тогда $m_1\in A\setminus A_0\subset A$ по построению этих множеств, но по условию $m_1\notin A$.

Точно! Я же в этом случае рассматриваю второе соответствие, а во втором соответствии множеству $A_0$ ничего не соответствует. Вообще, если $q>0$ - натуральное, то $B_{q}\overset{2}{\longleftrightarrow}A_{q}$, откуда ${\displaystyle \sum_{q}B_{q}\overset{2}{\longleftrightarrow}\sum_{q}A_{q}}$, или $B\overset{2}{\longleftrightarrow}A\setminus A_{0}$. А вот множества $A_{p}$, как и множества $B_{q}$, они же могут пересекаться друг с другом?
[off[Формулы]]

arseniiv в сообщении #1153698 писал(а):

Можно не ставить фигурные скобки вокруг индекса, когда он длиной в один символ.

я знаю, просто чтобы в более сложных случаях не запутываться в скобках, я, как правило, набираю формулы в LyX, а потом просто копирую[/off[Формулы]]

arseniiv в сообщении #1153698 писал(а):

Sinoid в сообщении #1153689

писал(а):
Тогда в $A_{i-1}$, а, значит, и в $A$, существует такое $a$, что $a\overset{1}{\longleftrightarrow}n_{1}$ Не, это ничего не даст.

Да я сам тогда не был в восторге от этой идейки, просто за неимением лучшей...

[arseniiv]

Вот неудобно они не назвали свои отображения буквами. Пусть $n\colon M\to N_1$, $m\colon N\to M_1$ (это инъекции в $N$ и $M$ соотв., потому такие имена).

Sinoid в сообщении #1153984 писал(а):

А вот множества $A_{p}$, как и множества $B_{q}$, они же могут пересекаться друг с другом?

Нет. $f = m\circ n$, переводящая $A_i$ в $A_{i+1}$, инъекция как композиция инъекций, при этом $f(A_0)\cap A_0=\varnothing$. Инъекция не склеивает элементы, потому $f(A_1)\cap A_1=\varnothing$ и т. д.. (Чтобы получить непересечение $A_i$ и $A_{i+k}, k>1$, надо $k$ раз итерировать $f$.)

$n$, переводящая $A_i$ в $B_{i+1}$, тоже инъекция, что даёт аналогичное для $B_i$.

[Sinoid]

Что-то не догоняю

arseniiv в сообщении #1154015 писал(а):

при этом $f(A_0)\cap A_0=\varnothing$

Это, потому что это видно из чертежа, или это можно как-то вывести?

arseniiv в сообщении #1154015 писал(а):

Нет. $f = m\circ n$,

Так а почему отображение $f$ не может иметь, скажем, двойных элементов? К тому же ограничений на количество двойных элементов, как скажем, в проективных соответствиях, нет.

[arseniiv]

Sinoid в сообщении #1154360 писал(а):

Это, потому что это видно из чертежа, или это можно как-то вывести?

$f\colon M\to M_1$ по определению, так что образ любого множества $f(X)\subset M_1=M\setminus A_0$.

Про двойные элементы не понял.

[Sinoid]

arseniiv в сообщении #1154363 писал(а):

Про двойные элементы не понял.

Ну, помните, в проективной геометрии: Всякое аффинное соответствие, отличное от единичного, может иметь не более двух двойных точек. Ну, впрочем, все большое спасибо за помощь. Уж и не знаю, что бы я делал без этого сайта и чуть больше, чего греха таить, без вас и provincialk'и, тоже в свое время так помогала, спасибо и ей.

[arseniiv]

Вы про неподвижные/фиксированные точки, что ли? У инъекции в общем случае, конечно, может быть сколько угодно неподвижных точек, но у нашей инъекции $f$ не может быть ни одной, что следует из непересечения $A_i$ и $A_j$ для $i\ne j$, показанного выше.

[Sinoid]

Извините, пожалуйста, за позднее зажигание. Просто, когда шло обсуждение, казалось, что легко получить, да и не к спеху было... а сейчас перечитываю и чувствую в одном месте упущение. Вот здесь

arseniiv в сообщении #1154015 писал(а):

(Чтобы получить непересечение $A_i$ и $A_{i+k}, k>1$, надо $k$ раз итерировать $f$.)

Это ведь я буду эти итерации $f$ применять $k$ раз к соотношению$A_{i}\subseteq(\ldots(A\backslash A_{0})\backslash A_{1}\ldots)\backslash A_{i-1}$, полученного из соотношения $A_{1}\subseteq A\backslash A_{0}$?

[arseniiv]

Всё было проще: сначала покажем, что $A_n\cap A_0\equiv f^{\circ n}(A_0)\cap A_0=\varnothing$ при $n>1$, а потом делаем как тут:

arseniiv в сообщении #1154015 писал(а):

при этом $f(A_0)\cap A_0=\varnothing$. Инъекция не склеивает элементы, потому $f(A_1)\cap A_1=\varnothing$ и т. д..

и в результате получаем $A_{n+k}\cap A_k=\varnothing$ для $n>0, k\geqslant0$.

Первое получаем так же как получили $f(A_0)\cap A_0 = \varnothing$, а именно т. к. $f\colon M\to M\setminus A$ и $\operatorname{im}(f\circ g) \subset\operatorname{im}f$, где $\operatorname{im}f = f(\operatorname{dom} f)$.

$f^{\circ n}$ выше — $n$-я итерация $f$.

[Sinoid]

arseniiv в сообщении #1173468 писал(а):

$\operatorname{im}(f\circ g) \subset\operatorname{im}f$, где $\operatorname{im}f = f(\operatorname{dom} f)$.

Эта же формула из темы про функции? У Клини еще и в помине не таких соотношений. У меня в голове ее просто нет, хотя я ее понимаю. А вот тут

arseniiv в сообщении #1154015 писал(а):

Инъекция не склеивает элементы

Вы же имеете ввиду, что если $a$-инъективное отображение, то из $X_1 \ne X_2$ следует $a(X_1) \ne a(X_2)$?

[arseniiv]

Да.

Sinoid в сообщении #1173481 писал(а):

Эта же формула из темы про функции? У Клини еще и в помине не таких соотношений. У меня в голове ее просто нет, хотя я ее понимаю.

Можно считать это просто краткой записью чего-то более длинного, включающего только те элементы языка, которые на данный момент введены. Тем более раз вы понимаете.

[Sinoid]

(Оффтоп)

arseniiv в сообщении #1173468 писал(а):

Всё было проще:

А это вообще моя дурная привычка, я и в школе такой был, мне учительница часто говорила: "Ну что ты, Денис, вечно сложные решения откапываешь, а простые в упор не видишь?"

[Sinoid]

Еще раз спасибо. Я себе записал доказательство двумя способами: и так:

arseniiv в сообщении #1173468 писал(а):

Всё было проще: сначала покажем, что $A_n\cap A_0\equiv f^{\circ n}(A_0)\cap A_0=\varnothing$ при $n>1$, а потом...

и свою идею

Sinoid в сообщении #1173457 писал(а):

Это ведь я буду эти итерации $f$ применять $k$ раз к соотношению$A_{i}\subseteq(\ldots(A\backslash A_{0})\backslash A_{1}\ldots)\backslash A_{i-1}$, полученного из соотношения $A_{1}\subseteq A\backslash A_{0}$?

я, все-таки, довел до конца.