Абелевы группы на действительной прямой

[Профессор Снэйп]

Пусть $A$ --- подгруппа аддитивной группы действительных чисел. Доказать, что выполнена одна из трёх альтернатив:

1) $A = \mathbb{R}$;
2) множество $A$ не измеримо по Лебегу;
3) множество $A$ имеет лебеговскую меру $0$.

[Юстас]

Если $|A|>0$, то $A-A$ содержит некоторую окрестность нуля, следовательно $A=\mathbb{R}$. Осталось привести примеры для 2 и 3го пунктов: для 3 возьмем рациональные числа, для 2го - базис Гамеля $\mathbb{R}$ над $\mathbb{Q}$ и выбросим из него один элемент(без ограничения общности - единицу): в качестве $A$ можно взять линейную оболочку оставшегося, ясно что $A\ne \mathbb{R}$. Так как $A-A=A$ для подгруппы, и $A$ не содержит окрестности нуля, то $A$ обязано быть неизмеримым: действительно, если $|A|=0$, то сдвигами $A$ на рациональные числа покроем все $\mathbb{R}$, то есть $|\mathbb{R}|=0$ - противоречие.

[Профессор Снэйп]

Юстас писал(а):

Если $|A|>0$, то $A-A$ содержит некоторую окрестность нуля...

Почему это так?

Юстас писал(а):

Осталось привести примеры для 2 и 3го пунктов...

Зачем? В задаче этого не требуется.

[Юстас]

1)Это известное свойство, из учебника переписывать сюда не хочу.
2)Примеры привести требуется, а то вдруг не существует неизмеримых подгрупп?

[Профессор Снэйп]

1) Мне это свойство, к сожалению, не известно. Зато известно решение, которое его не использует. Я, в общем-то, и надеялся, что Вы будете это решение искать. Но, впрочем, если свойство есть, то задача становится совсем тривиальной.

2) Ну и что с того, что один из вариантов никогда не выполняется? В задаче всего лишь требовалось доказать, что невозможен четвёртый вариант ($A$ --- измеримое множество ненулевой меры, отличное от $\mathbb{R}$). Ничего большего я не имел в виду.

[Salvador]

Предположим $\lambda(A)>0$. По теореме Лебега о точках плотности плотность множества $A$ равна 1 почти во всех его точках, в частности, в какой-то одной. Поскольку $A-A\subset A$, то плотность в 0 равна 1, т.е. $A$ "почти полностью" заполняет любую достаточно малую окрестность 0. Из этого делаем вывод, что $A$ - множество полной меры на прямой. Осталось заметить, что классы смежности подгруппы $A$ не пересекаются, чтобы сделать вывод, что $A=\mathbb R$.