Неравенство

[arqady]

Мой подарок к Песах и Пасхе.
Для положительных

$$a,$$

$$b$$

и

$$c$$

таких, что

$$a+b+c=3$$

докажите, что

$$\frac{a^2}{5a+b^2}+\frac{b^2}{5b+c^2}+\frac{c^2}{5c+a^2}\geq\frac{1}{2}.$$

[bobo]

А если $a=\frac{1}{2}, b=1, c=\frac{3}{2}$?

[Kid Kool]

Получается 0,49968218655649133958366438900229

[arqady]

Я ж его доказал! Получилось противоречие в математике!
Срасибо, bobo! Меняю подарок.
Пусть

$$a,$$

$$b$$

и

$$c$$

положительные числа такие, что

$$a+b+c=3.$$

Докажите, что

$$\frac{a^2}{4a+b^2}+\frac{b^2}{4b+c^2}+\frac{c^2}{4c+a^2}\geq\frac{3}{5}.$$

Мне удалось найти здесь красивое доказательство.

Это неравенство является усилением довольно простого с Вьетнамского отбора 2007:
при тех же условиях доказать, что

$$\frac{a^2}{a+b^2}+\frac{b^2}{b+c^2}+\frac{c^2}{c+a^2}\geq\frac{3}{2}.$$

[Sergic Primazon]

arqady писал(а):

Это неравенство является усилением довольно простого с Вьетнамского отбора 2007:
при тех же условиях доказать, что

$$\frac{a^2}{a+b^2}+\frac{b^2}{b+c^2}+\frac{c^2}{c+a^2}\geq\frac{3}{2}.$$

Применяя Йенсена :

$$\frac{a^2}{a+b^2}+\frac{b^2}{b+c^2}+\frac{c^2}{c+a^2}\geq( a^2+b^2+c^2)^2\frac{1}{a^3+b^3+c^3+a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2};$$

т.е. надо доказать : $2(a^4 + b^4+c^4)+(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)\geq3(a^3+b^3+c^3)=(a+b+c)(a^3+b^3+c^3)
$ <=> (a^4 + b^4+c^4)+(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)\geq a^3(b+c)+b^3(c+a)+c^3(a+b)
которое очевидно является верным т.к. : $\frac{a^4 + b^4}{2} + a^2b^2\geq ab(a^2+b^2)$.
.

[Edward_Tur]

Вполне вероятно, наибольшее $\lambda$, для которого выполняется неравенство $\frac{{a^2 }}{{\lambda a + b^2 }} + \frac{{b^2 }}{{\lambda b + c^2 }} + \frac{{c^2 }}{{\lambda c + a^2 }} \ge \frac{3}{{\lambda + 1}}$ при тех же условиях - это $\lambda = 4.768440…$ - корень уравнения $\lambda ^4 - 6\lambda ^3 + 5\lambda ^2 + 5\lambda - 4 = 0$