Диаграммы Фейнмана в импульсном представлении

[Ascold]

У Пескина и Шредера неясен ход мыслей с формулы (4.48) и далее. Я понимаю так: корреляционная функция будет пропорциональна, в соответствии с вышеизложенными правилами Фейнмана величине

$$(-i\lambda)^2\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{d^4p_1}{(2\pi)^4}(2\pi)^4\delta(p_1+p_2)(2\pi)^4\delta(p_1+p_2)$$

или же

$$(-i\lambda)^2\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{d^4p_1}{(2\pi)^4}(2\pi)^4\frac{\delta(p_1+p_2)}{p_1^2-m^2+i\epsilon}(2\pi)^4\frac{\delta(p_1+p_2)}{p_2^2-m^2+i\epsilon}?$$

Т.е. отвечают ли линиям $p_1$ и $p_2$ пропагаторы? Эти линии - не внешние, так ведь?
Верно ли, что за исключением стрелок, диаграмма (4.48) в координатном пространстве выглядит так же?

[amon]

Не очень понятно (мне, тупому) что Вы собственно спрашиваете. Поэтому, с Вашего разрешения, я сам задам пару вопросов (не хотите - не отвечаете, синие штаны не при чем).
1. Сколько пропагаторов в диаграмме (4.48)
2. Сколько кратный интеграл соответствует диаграмме. (Для ленивых - (4.48) это картинка двухвершинной 1-неприводимой вакуумной петли в модели $\varphi^4$)

Ответы на Ваши вопросы
1. Всем линиям этой диаграммы отвечают пропагаторы, поскольку, как Вы правильно заметили, внешних линий у нее нет.
2. В координатном и импульсном представлении картинки выглядят одинаково. Стрелок нет ни где. Отличия в том, какое выражение ставится в соответствие элементу картинки.

[Ascold]

Цитата:

1. Сколько пропагаторов в диаграмме (4.48)

4: w-w, z-z и два z-w

Цитата:

2. Сколько кратный интеграл соответствует диаграмме.

А вот тут я теряюсь. Если взять и прямо применить правила, описанные под формулой (4.47), то интеграл будет по 4 компонентам одного из импульсов, например $p_1$ в силу правила 5. Но природа этого правила мне непонятна, ведь по сути мы применяем те же правила Фейнмана, что и в координатном пространстве, сделав лишь Фурье-преобразование (4.46). Само собой, что переставив при вычислении амплитуды перехода порядок интегрирования по координатам и импульсам, получим дельта-функции на манер (4.47), но куда (правило 5) денется интегрирование по импульсу $p_2$?
Мне кажется, что расчёт в p-пространстве по диаграмме(4.48) должен быть(без лямбд и множителей симметрии) такой:

$$\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{d^4p_1}{(2\pi)^4}(2\pi)^4\frac{i\delta(p_1+p_2)}{p_1^2-m^2+i\epsilon}\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{d^4p_2}{(2\pi)^4}(2\pi)^4\frac{i\delta(p_1+p_2)}{p_2^2-m^2+i\epsilon}\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{d^4p_3}{(2\pi)^4}\frac{i}{p_3^2-m^2+i\epsilon}\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{d^4p_4}{(2\pi)^4}\frac{i}{p_4^2-m^2+i\epsilon}$$

Тогда как Nastase, например, в согласии с правилами Фейнмана в импульсном пространстве(1-6) получает результат http://www.ift.unesp.br/users/matheus/f ... 1notes.pdf (6,16) другой формулой. Куда делись квадратичные знаменатели от пропагаторов? Почему всё-таки нужно не интегрировать по импульсу, охваченному законом сохранения в дельта-функции?

[amon]

Ascold,
у Вас пока все хорошо. Все выражения Вы написали правильно, так что разбирайтесь спокойно дальше.
Диаграмма эта все равно расходящаяся (интегралы расходятся, что символизирует множитель $\delta(0)=\infty$), и что с этим делать Вам объяснят потом. Собственно, в этом (демонстрации расходимости), видимо, и заключается весь смысл. По этой причине точное выражение для диаграммы не выписано.

Ascold в сообщении #1152526 писал(а):

Почему всё-таки нужно не интегрировать по импульсу, охваченному законом сохранения в дельта-функции?

Потому, что $\int\delta(x-x')f(x')dx'=f(x)$ (интегрирование с $\delta$-функцией тривиально). Либо я вопроса не понял.

[Ascold]

amon в сообщении #1152553 писал(а):

Потому, что $\int\delta(x-x')f(x')dx'=f(x)$ (интегрирование с $\delta$-функцией тривиально). Либо я вопроса не понял.

Тогда непонятно у Nastase(он делает почти слово в слово, что и Пескин) при интегрировании только по по $p_1$ сохраняются обе дельта-функции, ведь при интегрировании по $p_2$ сидящая в ней дельта-функция должна убраться согласно вышеуказанной Вами формуле свёртки с дельтой? Даже если отбросить знаменатели, то при интегрировании по $p_1$ и $p_2$ должно получиться

$$\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{d^4p_1}{(2\pi)^4}(2\pi)^4\delta(p_1+p_2)\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{d^4p_2}{(2\pi)^4}(2\pi)^4\delta(p_1+p_2),$$

при этом каждый интеграл вида

$$\int_{-\infty}^{+\infty}d^4p_1\delta(p_1+p_2)=\int_{-\infty}^{+\infty}d^4(p_1+p_2)\delta(p_1+p_2)=1,$$

а не как у Пескина. Nastase в этом месте пишет (6.16):

$$\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{d^4p_1}{(2\pi)^4}(2\pi)^4\delta(p_1+p_2)(2\pi)^4\delta(p_1+p_2)$$

Если множители $\frac{i}{p_i^2-m^2+i\epsilon}$ не отбрасывать, то всё равно после интегрирования дельта-функции уберутся:

$$\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{d^4p_1}{(2\pi)^4}(2\pi)^4\frac{i\delta(p_1+p_2)}{p_1^2-m^2+i\epsilon)}=\frac{i}{p_2^2-m^2+i\epsilon}$$

и тогда бесконечность, если и возникнет, то если устремить $\epsilon\to0$. Но Пескин и вслед за ним Nastase пишут ведь явно не это?

[amon]

Теперь проблему понял. Смотрите. Есть у Вас выражение $\int \delta(p_1+p_2)\delta(p_1+p_2)f(p_1,p_2,\dots,p_n)\,dp_1\dots dp_n$ (все интегралы по бесконечным пределам, и $f$ - какая угодно функция). Берем интеграл по $p_1$ по правилу $\int\delta(x-x')f(x')dx'=f(x)$, и получаем

$$\begin{align} &\int \delta(p_1+p_2)\delta(p_1+p_2)f(p_1,p_2,\dots,p_n)\,dp_1\dots dp_n&=\\ &=\int \delta(0)f(-p_2,p_2,\dots,p_n)\,dp_2\dots dp_n=\\ &= \delta(0)\int f(-p_2,p_2,\dots ,p_n)\,dp_2\dots dp_n \end{align} $$

Т.е. мы заработали бесконечный множитель, и дальше можно не считать. При интегрировании мы из одной $\delta$-функции получаем $p_1=-p_2$ и подставляем во вторую.

[Ascold]

Вот, теперь ясно, благодарю. Правда, внимательно присмотревшись, я бы оформил это с небольшой поправкой:

$$\int dp_1\delta(p_1+p_2)f(p_1)\int dp_2\delta(p_1+p_2)f(p_2)=\int dp_1\delta(p_1+p_2)F(p_1,f(p_2))=F(-p_2,f(p_2))=$$

$$=f(-p_2)\int dp_2f(p_2)\delta(0),$$

где

$$F(p_1,f(p_2))=f(p_1)\int dp_2f(p_2)\delta(p_1+p_2)$$

- функция по $p_1$ и функционал по $f(p_2)$, ведь на первый взгляд

$$\int dp_1\delta(p_1+p_2)f(p_1)\int dp_2\delta(p_1+p_2)f(p_2)\neq\int dp_1dp_2\delta(p_1+p_2)\delta(p_1+p_2)f(p_1)f(p_2).$$

[amon]

Ну, вот и славно! "Ваш способ мне тоже нравится (С)"