Симметрия полных волновых функций многочастичных систем

[Osmiy]

...при перестановке частиц.

Тут либо я туплю, либо все физики мира разом.
Эпопея симметрии ВФ началась с постулирования постулата о том, что состояние системы не поменяется, если поменять друг с другом две одинаковые частицы. Математически это выражается в том, что, если обменять значения координат и спина двух частиц, значение ВФ останется прежним (максимум знак поменяет).
Непонятно:
1)Почему неизменность состояния системы ассоциировали с неизменностью значения ВФ при конкретных значениях набора параметров. Должно же быть так: неизменными остаются значения энергии, импульса и момента, а значение ВФ может стать и другим.
2)Почему в полная ВФ функция включает в себя только координаты и спиновое квантовое число(КЧ) частиц. Она должна же зависеть ото всех квантовых чисел (их три штуки помимо спина). Только при перестановке координат и значений всех КЧ пары частиц волновая функция не поменяет значение. Что соответствует тупо физическому обмену частиц, находящихся в разных состояниях. Если же поменять только координаты и спин у частиц, находящихся в разных состояниях, ВФ обязана поменять свое значение. Т.к. частицы при обмене только координат и спина, будут иметь разные импульсы и кин. энергию, если не обменяются состояниями (чт. всеми квантовыми числами). Вот.

[Metford]

Osmiy в сообщении #1151498 писал(а):

Должно же быть так: неизменными остаются значения энергии, импульса и момента, а значение ВФ может стать и другим.

Выше Вы сами сказали, что волновая функция системы тождественных частиц может только поменять знак при перестановках частиц - и то только в строго определённом случае. Вы эту фразу просто повторили за учебником или понимаете, почему это так?

Да, и не считая, "постулирования постулата" формулировку

Osmiy в сообщении #1151498 писал(а):

состояние системы не поменяется, если поменять друг с другом две одинаковые частицы

я бы точной не назвал. Тем более, что нет необходимости вводить именно такой постулат, когда давно уже определён смысл волновой функции.

Osmiy в сообщении #1151498 писал(а):

Почему в полная ВФ функция включает в себя только координаты и спиновое квантовое число(КЧ) частиц

Если Вы откроете, например, учебник Давыдова по квантовой механике, то там найдёте обозначение $\psi(1,2)$ - и только. А когда Вы говорите, видимо, о квантовых числах электронов в атомах, то там при заполнении уровней вообще-то все квантовые числа принимаются во внимание, а не только спиновое.

[Munin]

Osmiy в сообщении #1151498 писал(а):

Почему неизменность состояния системы ассоциировали с неизменностью значения ВФ при конкретных значениях набора параметров. Должно же быть так: неизменными остаются значения энергии, импульса и момента, а значение ВФ может стать и другим.

Энергия, импульс и момент - это не полное описание состояния. Полное - это в.ф. Если бы достаточно было этих трёх величин, то нечего бы и волновую механику городить было.

Osmiy в сообщении #1151498 писал(а):

Почему в полная ВФ функция включает в себя только координаты и спиновое квантовое число(КЧ) частиц.

Это изучается дальше - в теории квантования. Если вы читаете КМ по нормальному учебнику (ЛЛ-3 и выше, в т. ч. Давыдов), то там написано, что при квантовании математическое описание начинается с теоретической механики соответствующей классической системы с конфигурационным пространством $(q_n)$ и фазовым пространством $(q_n,p_n).$ Далее, квантовое состояние строится как $\Psi\colon(q_n)\to\mathbb{C},$ переменные заменяются на операторы $\hat{q}_i=q_i,\hat{p}_i=-i\hbar\,\partial/\partial q_i,$ выписывается квантовый гамильтониан и уравнение Шрёдингера.

Osmiy в сообщении #1151498 писал(а):

Она должна же зависеть ото всех квантовых чисел (их три штуки помимо спина).

Большая ошибка считать, что квантовых чисел "четыре штуки". Их сколько угодно штук - в разных физических системах они разные. Квантовые числа - это просто набор чисел, введённый человеком для удобства, чтобы нумеровать квантовые состояния (некий базис, например, собственные состояния по энергии. В атоме (и только в атоме!) квантовых чисел четыре штуки.

Далее. В.ф. не должна явно зависеть от всех квантовых чисел помимо спина. Потому что они попросту вычисляются, глядя на волновую функцию! Вычисляются по координатной в.ф. Зависимость от координат - намного богаче. Среди всех в.ф., зависящих от координат, легко помещаются и все в.ф. для каждого набора квантовых чисел, и много "лишних в.ф." - разнообразных суперпозиций.

В общем, у вас пока проблемы с пониманием квантовой механики одной частицы. А вы уже лезете в многочастичную.

[madschumacher]

Munin в сообщении #1151521 писал(а):

Квантовые числа - это просто набор чисел, введённый человеком для удобства, чтобы нумеровать квантовые состояния

А нам когда-то говорили, что квантовые числа -- аналоги интегралов движения. Т.е. все-таки несколько большая вещь, чем просто нумерация (хотя про нумерацию мысль, конечно, понятна и ясна, и спорить с ней нет смысла)

[Munin]

Если состояния стационарные (а я именно такие имел в виду, уточняю сейчас), то как бы мы их ни нумеровали, эти номера будут интегралами движения.

[Osmiy]

Извините что долго не отвечал.
Прочитал Давыдова (хорошая книга). Впервые на примере пара- и ортогелия математически увидел влияние симметрии координатной и спиновой части ВФ на энергию с одновременным подтверждением экспериментами. Собираюсь найти еще работы Фока, указанные там с еще большим кол-вом электронов. По крайней мере я сейчас больше верю в то, что пишут про полную ВФ так и есть на самом деле.

Но всё равно не получается понять почему ВФ не меняет своего значения (по модулю) при перестановке двух электронов находящихся в абсолютно разных состояниях без смены всех квантовых чисел. Если электроны находятся на разных орбиталях, и при их перестановке не меняется значение по модулю ВФ, то электронная плотность электронов находящихся в этих состояниях будут совпадать. Бред какой-то, или я чего-то себе не правильно представляю.

Munin в сообщении #1151521 писал(а):

Энергия, импульс и момент - это не полное описание состояния. Полное - это в.ф.

При заданном потенциале вроде полное. Нет?

[Metford]

Osmiy, обменное взаимодействие - великая вещь...

А волновая функция, действительно, доставляет полное описание системы (ну, когда её можно построить). Вы говорите только об энергии, импульсе. А ведь сколько всего интересного есть ещё.

Osmiy в сообщении #1152437 писал(а):

почему ВФ не меняет своего значения (по модулю) при перестановке двух электронов находящихся в абсолютно разных состояниях без смены всех квантовых чисел

Не до конца понял вопрос. В основе вывода, о котором изначально идёт речь, заложена именно тождественность частиц. Т.е. Вы, грубо говоря, не заметите, что они поменялись местами. Почему же тогда должны измениться наблюдаемые? Значит, волновая функция максимум приобретёт фазу. А повторная перестановка конкретизирует, какую именно фазу можно приобрести.

[arseniiv]

Osmiy в сообщении #1152437 писал(а):

При заданном потенциале вроде полное. Нет?

Давайте хотя бы вспомним, что есть состояния не с определёной энергией. Они тоже имеют право на жизнь!

[Red_Herring]

Следует помнить, что две ВФ определяют одно и то же состояние тогда и только тогда, когда они пропорциональны $\Psi '=\lambda \Psi$. Но тогда если $\Pi$ это оператор перестановки двух тождественных частиц, то $\Pi\Psi =\lambda \Psi$, и $\Pi^2\Psi =\lambda \Pi\Psi= \lambda^2\Psi$. Но $\Pi^2\Psi =\Psi$ (повторная перестановка возвращает частицы обратно) и тогда $\lambda^2=1\implies \lambda=\pm 1$.

[Osmiy]

Metford в сообщении #1152442 писал(а):

А волновая функция, действительно, доставляет полное описание системы (ну, когда её можно построить). Вы говорите только об энергии, импульсе. А ведь сколько всего интересного есть ещё.

При заданном полном наборе значений энергий, импульсов и моментов частиц, при известном (заданном) внешнем потенциале всегда можно восстановить ВФ системы, которая причем будет единственная. Т.е. задавая эти параметры однозначно и полно задается состояние системы.

Что я подразумеваю под торжественностью и почему меня глючит с перестановкой частиц:
Допустим что у нас есть выдуманная Солнечная система с двумя планетами одинаковой массы, формы и цвета, находящихся на пересекающихся, но разных орбитах. В один момент времени каждая планета оказалась в своих определенных положениях. После нескольких оборотов вокруг Солнца планеты оказались в тех же положениях только наоборот уже. У системы в целом энергия, импульс и момент не изменились, но сами состояния системы в эти моменты времени не эквивалентны, потому что мгновенные значения энергии, импульсов и моментов планет разные (чт. значение и свойства полной ВФ разные при обмене координат частиц). Только лишь при обмене координатами и орбитами планет (чт. координатами и квантовыми числами) состояние системы сохраниться.
Вот и эта аналогия у меня видится и в электронных системах.

-- 19.09.2016, 00:25 --

arseniiv в сообщении #1152445 писал(а):

Osmiy в сообщении #1152437 писал(а):

При заданном потенциале вроде полное. Нет?

Давайте хотя бы вспомним, что есть состояния не с определёной энергией. Они тоже имеют право на жизнь!

Это вы про суперпозицию? Ой, не надо. Ограничимся чистыми(?) стационарными состояниями.

Я правильно употребил слово термин "чистые"?

[Red_Herring]

Osmiy в сообщении #1152461 писал(а):

При заданном полном наборе значений энергий, импульсов и моментов частиц, при известном (заданном) внешнем потенциале всегда можно восстановить ВФ системы, которая причем будет единственная. Т.е. задавая эти параметры однозначно и полно задается состояние системы.

Неверно

[Osmiy]

Red_Herring в сообщении #1152448 писал(а):

Следует помнить, что две ВФ определяют одно и то же состояние тогда и только тогда, когда они пропорциональны $\Psi '=\lambda \Psi$. Но тогда если $\Pi$ это оператор перестановки двух тождественных частиц, то $\Pi\Psi =\lambda \Psi$, и $\Pi^2\Psi =\lambda \Pi\Psi= \lambda^2\Psi$. Но $\Pi^2\Psi =\Psi$ (повторная перестановка возвращает частицы обратно) и тогда $\lambda^2=1\implies \lambda=\pm 1$.

Да, также в ЛЛ-3 объясняется. Это объяснение легкое для понимания. У меня ступор в том, что перестановка должна соответствовать перестановке и координат и всех!!! квантовых чисел, т.е. электроны тупо меняются квантовыми состояниями. Вот.

-- 19.09.2016, 00:31 --

Red_Herring в сообщении #1152463 писал(а):

Osmiy в сообщении #1152461 писал(а):

При заданном полном наборе значений энергий, импульсов и моментов частиц, при известном (заданном) внешнем потенциале всегда можно восстановить ВФ системы, которая причем будет единственная. Т.е. задавая эти параметры однозначно и полно задается состояние системы.

Неверно

Да не, быть такого не может

[arseniiv]

Osmiy в сообщении #1152461 писал(а):

Я правильно употребил слово термин "чистые"?

Неправильно. «Чистые» имеет смысл говорить, когда у нас появляются матрицы плотности, но с ними щас в любом случае рано.

-- Пн сен 19, 2016 00:36:50 --

Osmiy в сообщении #1152464 писал(а):

Да не, быть такого не может

Почему?

[Metford]

Osmiy в сообщении #1152461 писал(а):

Что я подразумеваю под торжественностью

Хорошая опечатка...

Osmiy в сообщении #1152461 писал(а):

Вот и эта аналогия у меня видится и в электронных системах.

Лучше бы таких аналогий избегать. В квантовой механике такие "буквальные" аналогии часто служат источником серьёзных заблуждений.

Osmiy в сообщении #1152464 писал(а):

У меня ступор в том, что перестановка должна соответствовать перестановке и координат и всех!!! квантовых чисел, т.е. электроны тупо меняются квантовыми состояниями. Вот.

Наверное, мне этот ступор не понять... Вы ведь убедились уже, как я понял, что та или иная симметрия волновой функции оказывает влияние на свойства системы. Видимо, про обменное (оно ведь не зря так называется!) читали...

[Osmiy]

arseniiv в сообщении #1152466 писал(а):

Osmiy в сообщении #1152464 писал(а):

Да не, быть такого не может

Почему?

Эм... если я скажу что совпадение всех этих параметров у каждой частицы в стоэлектронной системе при различной конфигурации маловероятно, будет достаточно?

-- 19.09.2016, 00:49 --

Metford в сообщении #1152468 писал(а):

Наверное, мне этот ступор не понять... Вы ведь убедились уже, как я понял, что та или иная симметрия волновой функции оказывает влияние на свойства системы. Видимо, про обменное (оно ведь не зря так называется!) читали...

В Давыдове есть приписка что практически совпадает с экспериментом
Вот это приписка и не добила до конца надежду, что физики ошибаются. (Громко звучит конечно, но не знаю как правильно слова подобрать).