Существует или может существовать.

[Алексей К.]

Yarkin писал(а):

Для всякого треугольника иметт место теорема косинусов, но не для чисел, а для элементов первого порядка.

Someone писал(а):

Ко всем остальным: вам ещё не надоело?

Правда, давайте не будем требовать определения элементов первого порядка. Опять кому-то в библиотеку бежать. В БСЭ нет, потому что это должен знать каждый. Что касается "Болеро", то я там, повыше, уже и ссылку поставил на MP3. Собственно, вот она:

Алексей К. писал(а):

Право, послушайте упомянутое мной "Болеро", и представьте себе его продолжение. Продолжение пиесу испортило бы.

[Yarkin]

shwedka писал(а):

И, для примера, проинтерпретируйте сложение векторов (1,2,3), (4,5,6 ) и (7,8,13) комплексными числами,
да так, чтобы несмешно было.

Без смеха. (1,2,3)+(4,5,6)+(7,8,13)=(12,15,22).

AD писал(а):

1. А знает ли об этом Yarkin?
2. А понимает ли Yarkin, какое отношение это всё имеет к сути дела?

Все это было в закрытой теме и пока не наступило время туда возвращаться. Решим более легкую задачу - ВТФ.

AD писал(а):

А я привел контрпример. Для векторов размерности три имеется векторное произведение, которое на плоскости (в частности, на комплексной) не реализуется.

Векторное произведение двух комплексных чисел на комплексной плоскости тоже не реализуется. Проверьте.

Алексей К. писал(а):

Он часто берёт паузы, даже на сутки. Каково одному против всех?
Зато потом как впарит!

Изучили Yarkinа.

Someone писал(а):

Ко всем остальным: вам ещё не надоело? Чего Вы хотите от Yarkinа? Он уже сказал всё, что мог.

Даже Вы не все сказали, в частности не обосновали утверждение:

Someone писал(а):

Обсуждаемый случай прямоугольного треугольника ни в каком смысле не является вырожденным, и теорема косинусов применима в полном объёме. Просто один из углов равен $90°$, и его косинус равен $0$. Никакого вырождения нет.

Добавлено спустя 9 минут 15 секунд:

Теорема антикосинусов. Для любого натурального $n > 0$ не существует никакого треугольника, длины сторон которого, удовлетворяли бы соотношению

$$ x^{2n} + y^{2n} = z^{2n}, \eqno (1) $$

где $x, y, z$ - положительные действительные числа.
Доказательство. 1. Положим

$$ x^n = a, y^n = b, z^n =c, \eqno (2) $$

Тогда соотношение (1) можно записать в виде

$$ a^2 + b^2 = c^2, \eqno (3) $$

Соотношение (3) получается из соотношений теоремы косинусов для треугольника со сторонами $a^2, b^2, c^2$,

$$ \left\{ \begin{aligned} a^4 + b^4 - 2a^2 b^2 \cos C_1 = c^4\\ c^4 + a^4 - 2a^2 c^2 \cos B_1 = b^4\\ c^4 + b^4 - 2b^2 c^2 \cos A_1 = a^4.\\ \end{aligned} \right. \eqno (4) $$

с условиями для углов

$$ 0 < \angle A_1 < \pi, 0 < \angle B_1 < \pi, 0 < \angle C_1 < \pi , \angle A_1 + \angle B_1 + \angle C_1 = \pi. \eqno (5) $$

при нарушении этих условий $(\angle C_1 = 180^0, \angle A_1 = \angle B_1 = 0)$, т. е. треугольник с такими сторонами не существует, либо $ a^2, b^2, c^2$ не являются элементами первого измерения. Это следует и из самого соотношения (1).
2. Допустим, что для произвольного $n$ > 0, существует треугольник со сторонами $a = x^n, b = y^n, c = z^n$, для которого имеет место соотношение (1). Однако для такого треугольника должна выполняться теорема косинусов.

$$ \left\{ \begin{aligned} a^2 + b^2 - 2ab \cos C = c^2\\ c^2 + a^2 - 2ac \cos B = b^2\\ c^2 + b^2 - 2bc \cos A = a^2.\\ \end{aligned} \right. \eqno (6) $$

с условиями для углов

$$ 0 < \angle A < \pi, 0 < \angle B < \pi, 0 < \angle C < \pi , \angle A + \angle B + \angle C = \pi. \eqno (7) $$

Первое соотношение (6) совпадет с соотношением (3) при $\angle C = \pi/2$. Далее возможны два случая либо

$$ a = c \cos B, b = c \cos A, \eqno (8) $$

либо

$$ a \ne c \cos B, b \ne c \cos A, \eqno (9) $$

Рассмотрим каждый из этих случаев в отдельности.
1) Выполняются соотношения (8). Все три соотношения (6) перейдут в соотношение (3), где, теперь, элементами первого измерения являются $a = x^n, b = y^n, c = z^n$, но одни и те же элементы одного и того же соотношения, могут иметь только один порядок измерения. Допустив противное, мы должны будем допустить существование соответствующих подобных линейных элементов $a, b, c $ и $ a^2, b^2, c^2$. Это будет возможно только при $a = b = c$, что противоречит соотношению (3). Допущение неверно. Если же эти величины разных измерений, то придем к рассмотренному пункту 1.
2) Выполняются соотношения (9). Но эти соотношения противоречат основным тригонометрическим соотношениям для прямоугольного треугольника. Следовательно, допущение о существовании такого треугольника неверно. Теорема доказана.
Следствие 1. При натуральном $n > 0$ не существует треугольника со сторонами $x^{n/2}, y^{n/2}, z^{n/2}$, для которого имело бы место соотношение

$$ x^n + y^n = z^n. \eqno (10) $$

Чтобы убедиться в этом, достаточно в доказательстве теоремы, в обозначениях (2) положить

$$ x^{n/2} = a, y^{n/2} = b, z^{n/2} = c, \eqno (11) $$
.
Следствие 2. ВТФ. Полагая в соотношениях (4) $\angle C = \pi, \angle B = \angle A = 0$ (треугольник не существует), получим из всех трех соотношений – уравнение Ферма (7), для которого, как следует из доказанной теоремы, не существует никаких треугольников со сторонами (11).
Следствие 3. Пифагоровы тройки – корни уравнения (9) при $n = 1$

$$ x^2 + y^2 = z^2. \eqno (12) $$

не могут быть использованы для построения треугольников, поскольку они не удовлетворяют требованию (8) и оно не содержит угловых элементов. Отсюда следует, что в ВТФ условие $n > 2$ можно заменить условием $n > 1$.

Я знаю. Что мои рассуждения никого не интересуют. Однако разгадка кроссворда по имени ВТФ поставит перед математиками серьезные вопросы относительно существующего понятия числа и действий над числами. Не избежать проблем и в теории множеств.

[Алексей К.]

Yarkin писал(а):

Даже Вы не все сказали, в частности не обосновали утверждение:

Someone писал(а):

Обсуждаемый случай прямоугольного треугольника ни в каком смысле не является вырожденным, и теорема косинусов применима в полном объёме. Просто один из углов равен $90°$, и его косинус равен $0$. Никакого вырождения нет.

Есть вещи, которые в нашей системе верификации нет нужды обосновывать. И постоянные требования обоснований/доказательств --- с обеих сторон, видимо, и доказывают расположение нас в разных системах (хотя и в одном форуме). Останусь в прежней, и поучу с помощью профессора Снэйпа дискретную математику. Предсказанные проблемы в теории множеств нашей системы, судя по всему, не коснутся.

[Someone]

Yarkin писал(а):

Даже Вы не все сказали, в частности не обосновали утверждение:

Я в этой теме уже сказал всё, что хотел, и обосновывать ничего не собираюсь. Если Вас интересует обоснование, берите школьный учебник геометрии (Киселёва, например) и читайте его до просветления.
Поскольку Вы в очередной (и который уже) раз повторили тот же бред, что и раньше, я не вижу оснований предполагать, что Вы сказали не всё.

[Алексей К.]

Yarkin писал(а):

Отсюда следует, что в ВТФ, условие $n > 2$ можно заменить условием $n > 1$.

Здесь вторая запятая лишняя. И это не есть замечание "не по существу дела". Это одно из немногих замечаний по существу.
Ср.: В саду, растёт яблоня.

[Yarkin]

Someone писал(а):

Поскольку Вы в очередной (и который уже) раз повторили тот же бред, что и раньше, я не вижу оснований предполагать,

Не осталось.

Алексей К. писал(а):

Здесь вторая запятая лишняя. И это не есть замечание "не по существу дела". Это одно из немногих замечаний по существу.

Если дело в запятой, то я ее уберу. Суть останется.

[TOTAL]

Yarkin писал(а):

Если дело в запятой, то я ее уберу. Суть останется.

Yarkin, имейте совесть, объясните неустранимую суть, который раз прошу!

[Azog]

Слушайте, Yarkin, можете ответить на 1 вопрос? Вы всерьез или прикалываетесь?

[AD]

Yarkin писал(а):

Соотношение (3) получается из соотношений теоремы косинусов для треугольника со сторонами $a^2, b^2, c^2$,

$$ \left\{ \begin{aligned} a^4 + b^4 - 2a^2 b^2 \cos C_1 = c^4\\ c^4 + a^4 - 2a^2 c^2 \cos B_1 = b^4\\ c^4 + b^4 - 2b^2 c^2 \cos A_1 = a^4.\\ \end{aligned} \right. \eqno (4) $$

с условиями для углов

$$ 0 < \angle A_1 < \pi, 0 < \angle B_1 < \pi, 0 < \angle C_1 < \pi , \angle A_1 + \angle B_1 + \angle C_1 = \pi. \eqno (5) $$

Это неверно. Правильный вариант:

Цитата:

Соотношение (3) получается из соотношений теоремы косинусов для треугольника со сторонами $a^2, b^2, c^2$,

$$ \left\{ \begin{aligned} a^4 + b^4 - 2a^2 b^2 \cos C_1 = c^4\\ c^4 + a^4 - 2a^2 c^2 \cos B_1 = b^4\\ c^4 + b^4 - 2b^2 c^2 \cos A_1 = a^4.\\ \end{aligned} \right. \eqno (4) $$

с условиями для углов

$$ \angle A_1 =0, 0 < \angle B_1 =0,\angle C_1 = \pi , \angle A_1 + \angle B_1 + \angle C_1 = \pi. \eqno (\tilde{5}) $$

Добавлено спустя 3 минуты 7 секунд:

Yarkin писал(а):

одни и те же элементы одного и того же соотношения, могут иметь только один порядок измерения.

Это - бред. Либо все величины безразмерные, либо нужно считать, что это разные соотношения (в одном стоят сантиметры, в другом - квадратные сантиметры).

Yarkin писал(а):

Допустив противное, мы должны будем допустить существование соответствующих подобных линейных элементов $a, b, c $ и $ a^2, b^2, c^2$.

Это неверно и ниоткуда не следует.

Azog писал(а):

Слушайте, Yarkin, можете ответить на 1 вопрос? Вы всерьез или прикалываетесь?

Он серьёзно. К сожалению. Вам его не жалко? Он ведь может так никогда и не понять, что несёт чушь.

[bot]

AD писал(а):

Он серьёзно. К сожалению. Вам его не жалко? Он ведь может так никогда и не понять, что несёт чушь.

Может быть попробовать shwedkино ноухау - пошаговую терапию?

[TOTAL]

bot писал(а):

AD писал(а):

Он серьёзно. К сожалению. Вам его не жалко? Он ведь может так никогда и не понять, что несёт чушь.

Может быть попробовать shwedk ино ноухау - пошаговую терапию?

Ну и где результаты этого ноухау? Нет не только результатов, но и самого подопечного.

Мне представляется перспективным следующий способ борьбы из двух пунктов:

1) С подопечным ведет беседу только один доброволец (другие молчат! модератор помогает молчать!)
2) Беседа ведется интенсивно в интерактивном режиме (иначе подопечный неопределенно долгое время скрывается в подполье, тянет время, что позволяет ему "забыть", о чем его спрашивали)

Есть желающие? (В данном случае я - твердый пас.)

[AD]

TOTAL ... нечто подобное обсуждалось здесь. Возможно, не так четко сформулированное. Потому что я был не пас. Я и сейчас не пас. Проблема не в том, чтобы найти кого-то, кто не пас, а в том, чтобы остальные при этом были пас.

[shwedka]

Коллеги (включая Yarkin), Я предлагаю следующую технологию.

1. тема закрывается. Все сказанное в ней объявляется недействительным.
2. Yarkin открывает новую тему, под названием, скажем, ТЕОРЕМА АНТИКОСИНУСОВ,
в котором первое сообщение совпадает с последним постом Yarkinа.

Здесь же копируется настоящее соглашение.

3. Имеется один оппонент (я не претендую). Только он(а) задает вопросы, только на них отвечает Yarkin. Желающие вмешаться сообщают свои идеи оппоненту (или другим соучастникам) лично.
Неоппоненты могут высказываться, но их посты вопросами не считаются, и на них отвечать не следует.
4. Yarkin старается отвечать на вопросы оппонента содержательно, без непроверяемых ссылок (Н.О.Нейм) или зановопридуманных терминов. Воздерживается от однострочных малосодержательных ответов.
5. Фиксируется начальный текст. Оппонент и Yarkin обсуждают следующий фрагмент, возможно одно слово, пока текст не будет согласован и зафиксирован. Фиксированный текст обсуждению или изменению не подлежит (но ссылаться на него, конечно, можно).
6. Уставший оппонент подлежит замене.
7. Дискуссия ведется в уважительных терминах, пока не доказано противоположное.
8. В математике действует презумпция виновности. Утверждение не доказано, пока не пред'явлено доказательство, ссылка, или не признано, что факт общеизвестен. Понятие не определено, пока не дано определение (не следует, однако, выходить за пределы разумного).Оппонент воздерживается от собственных содержательных утверждений, кроме непосредственно проверяемых, иначе Yarkin получает право требовать доказательство.

[Алексей К.]

bot писал(а):

Может быть попробовать shwedkино ноухау - пошаговую терапию?

Я уже предлагал нечто подобное в Работе форума.

Алексей К. писал(а):

...Требовать от автора точности. Не умеешь --- учись. Требовать жёстко, по-модераторски. Невнятицу не обсуждать, не разгадывать: только править.

Т.е., в рамках такого подхода, текст

АКИМОВ66 писал(а):

1. А + Д = В + С (2)
2. Взаимоместорасположение А, В, С и Д в уравнениях (1) и (2).

обсуждаться не должен.

Чисто технологически --- делай-ка, автор, ещё одно сообщение, и в него, постепенно, строчка за строчкой, вноси откорректированный и согласованный с нами текст. Не на всё сразу сумбурно наваливаться, а предложение за предложением. Одно-два за раз...

$$\centerline{\dots}$$

Утопичность своего предложения вполне осознаю (даже если такой принцип поведения и "технология" были бы одобрены, на сговор участников рассчитывать трудно).

Но здесь не тот случай. У Yarkin'а и мысли нет чему-то учиться. Он хочет донести своё сокровенное знание до этих ребят, неплохих в основном, умненьких, но совершенно зашоренных традициями. Yarkin так же страдает, что ему это не удаётся, как страдает AD, что ему не удаётся обратное.

Возможный вариант --- пусть Yarkin методом пошаговой терапии всё-таки впарит своё учение добровольцу. Т.е., похоже, bot'у... Т.е.
В роли shwedka --- народный .... итд. --- Yarkin.
В роли Валерий2 --- заслуженный .... итд.--- bot' (например).

(bot, книга Новосёлова наверняка имеется в б-ке НГУ. Пока там декорации ставят... а?)

[Brukvalub]

TOTAL писал(а):

Ну и где результаты этого ноухау? Нет не только результатов, но и самого подопечного.

Вот такой результат - самое лучшее, чего только можно желать! Хороший фероманьяк - это отсутствующий на форуме фероманьяк!