Оператор эволюции в КТП и представление взаимодействия

[Ascold]

Насколько я понимаю, вид оператора эволюции получается из уравнения Шрёдингера, т.е. если положить $h=1$ и независимость гамильтониана от времени, после интегрирования УШ получим

$$|\varphi(t)>=U(t,t_0)|\varphi(t_0)>,$$

где

$$U(t,t_0)=e^{-iH(t-t_0)}.$$

При этом неясны границы применимости формул Пескина и Шрёдера (4.17) или у Nastaze http://www.ift.unesp.br/users/matheus/f ... 1notes.pdf (5.13) пишется, что в представлении взаимодействия оператор эволюции будет

$$U(t,t_0)=e^{-iH_0(t-t_0)}e^{iH(t-t_0)}.$$

Я понимаю это так: есть зависящее от времени(в гейзенберговском представлении) операторное поле $\psi(x)$ и чтобы перейти к представлению взаимодействия мы умножаем его сначала на $e^{\pmiH_0(t-t_0}$ слева-справа, получив в шрёдингеровском представлении $\psi_S(t_0)$, а затем умножив его справа-слева на $e^{\pmiH(t-t_0)}$, имеем в представлении взаимодействия $\psi_I(t)$. Имея ввиду, что при $t=t_0$ значения состояний и полей во всех представлениях совпадают, получим

$$U_I(t,t_0)=e^{-iH_0(t-t_0)}e^{iH(t-t_0)}.$$

Гамильтониан взаимодействия $H_I$ в общем случае может зависеть от времени, что далее используется в рядах Дайсона. Почему тогда мы по-прежнему считаем выражения вида $e^{-iH_0(t-t_0)}e^{iH(t-t_0)}=e^{iH_I(t-t_0)}$ операторами эволюции, нет ли противоречия между $U_I(t,t_0)=e^{-iH_0(t-t_0)}e^{iH(t-t_0)}$ и дальнейшим дайсоновским

$$U_I(t,t_0)=T(e^{-i \int H_I(t')dt'})?$$

[amon]

Ascold в сообщении #1151095 писал(а):

...пишется, что в представлении взаимодействия оператор эволюции будет $U(t,t_0)=e^{-iH_0(t-t_0)}e^{iH(t-t_0)}.$

IMHO, это - неправильно. Должно быть $U(t,t_0)=e^{iH_0t}e^{iH(t_0-t)}e^{-iH_0t_0}.$ (Либо с переставленными $t_0$ и $t$, сейчас быстро не соображу). Если автор книжки разницы не видит, то такую книжку лучше отложить, и взять другую.

[Alex-Yu]

amon в сообщении #1151131 писал(а):

IMHO, это - неправильно. Должно быть $U(t,t_0)=e^{iH_0t}e^{iH(t_0-t)}e^{-iH_0t_0}.$

Это смотря как считать. В какой-то момент времени ВФ в этих представлениях совпадают. Но в какой именно момент времени? Это произвол, в какой хотим. Вот и вся разница

-- Ср сен 14, 2016 23:34:12 --

Ascold в сообщении #1151095 писал(а):

нет ли противоречия между $U_I(t,t_0)=e^{-iH_0(t-t_0)}e^{iH(t-t_0)}$ и дальнейшим дайсоновским

$$U_I(t,t_0)=T(e^{-i \int H_I(t')dt'})?$$

Да вроде нет. Если правильно пределы в интеграле поставить (они подразумеваются, но каие именно).

-- Ср сен 14, 2016 23:35:31 --

amon в сообщении #1151131 писал(а):

Если автор книжки разницы не видит, то такую книжку лучше отложить, и взять другую.

Не. Не надо Пескина-Шредера менять. Хорошая книжка. Хотя, конечно, лучше прочитать несколько разных книжек. Но Пескин-Шредер --- одна из лучших на сегодня.

[espe]

Ascold в сообщении #1151095 писал(а):

Почему тогда мы по-прежнему считаем выражения вида $e^{-iH_0(t-t_0)}e^{iH(t-t_0)}=e^{iH_I(t-t_0)}$

Мы это кто? Откуда Вы эту формулу взяли?

Вы формулу (5.19) из книги Nastase получили? (5.21) это решение (5.19), которое переписывается в виде (5.23), которое символически для компактности записываеся в виде (5.24)

Ascold в сообщении #1151095 писал(а):

$$U_I(t,t_0)=T(e^{-i \int H_I(t')dt'})?$$

[Ascold]

Цитата:

Вы формулу (5.19) из книги Nastase получили? (5.21) это решение (5.19), которое переписывается в виде (5.23), которое символически для компактности записывается в виде (5.24)

Это я всё сделал. Кажется, догадываюсь, в чём дело

Цитата:

Откуда Вы эту формулу взяли?

думаю, что сообразил, почему $e^{-iH_0(t-t_0)}e^{iH(t-t_0)}\neq e^{iH_I(t-t_0)}$: операторы $H$ и $H_0$ не коммутируют, а потому для них не справедлива формула произведения экспонент, как для чисел, там ещё слагаемые с коммутаторами будут.

Цитата:

Должно быть $U(t,t_0)=e^{iH_0t}e^{iH(t_0-t)}e^{-iH_0t_0}.$ (Либо с переставленными $t_0$ и $t$, сейчас быстро не соображу).

А вот это непонятно. Вы не согласны с моей логикой рассуждений:

Цитата:

Я понимаю это так: есть зависящее от времени(в гейзенберговском представлении) операторное поле $\psi(x)$ и чтобы перейти к представлению взаимодействия мы умножаем его сначала на $e^{\pm iH_0(t-t_0)}$ слева-справа, получив в шрёдингеровском представлении $\psi_S(t_0)$, а затем умножив его справа-слева на $e^{\pm iH(t-t_0)}$, имеем в представлении взаимодействия $\psi_I(x)$. Имея ввиду, что при $t=t_0$ значения состояний и полей во всех представлениях совпадают, получим

$$U_I(t,t_0)=e^{-iH_0(t-t_0)}e^{iH(t-t_0)}.$$

или полагаете, что во время переходов от представления к представлению допущена вычислительная ошибка?

[amon]

Ascold в сообщении #1151323 писал(а):

или полагаете, что во время переходов от представления к представлению допущена вычислительная ошибка?

Скорее, небрежность. Это выражение в дальнейшем будет в каком-то смысле стоять под значком $T$ или $N$-произведения, а для операторов под этим значком порядок не важен просто по определению значка. При выводе, видимо, (я не проверял) невнимательно следили за порядком операторов по вышеуказанной причине. Вообще, $U(t_1,t_2)$ это решение операторного уравнения

$$ i\frac{\partial U(t_1,t_2)}{\partial t_2}=H_IU(t_1,t_2) $$

где $H_I$ это гамильтониан взаимодействия в представлении взаимодействия: $H=H_0+V;\;H_I=e^{iH_0t}Ve^{-iH_0t}.$ Формальным операторным решением будет то, что я написал, а фактически дальше используется представление в виде $T$-экспоненты. Посему, следует считать мое замечание стариковским ворчанием.