Четыре точки на плоскости

[Ktina]

а) Можно ли расположить на плоскости четыре точки таким образом, чтобы
попарные расстояния между ними составляли 5, 5, 5, 6, 8 и 10 см?

б) А если добавить условие, что никакие три не лежат на одной прямой?

[worm2]

а) Понятно, что это разминка.
$(0,0)$; $(0,5)$; $(0,10)$; $(4.8, 3.6)$

-- Ср сен 14, 2016 15:23:47 --

Дальше считать надо. Конфигураций в трёхмерном пространстве, обеспечивающих соответствующие длины — конечное число. Точнее, всего три, из которых одна уже рассмотрена.

[mihiv]

Еще одна конфигурация: так как треугольник со сторонами 6,8,10 прямоугольный, то расстояния от середины его гипотенузы до вершин равны 5.

[Dmitriy40]

Ktina в сообщении #1151079 писал(а):

б) А если добавить условие, что никакие три не лежат на одной прямой?

С таким условием - нельзя.
Решение вообще единственно вроде, в виде прямоугольного треугольника с катетами 6 и 8 и гипотенузой 10, как привёл mihiv.

(Набросок доказательства.)

Рассмотрим три точки с попарными расстояниями 6, 8 и 10. Они образуют единственный возможный треугольник. Проведя теперь три окружности радиусом 5 из каждой вершины получим лишь ровно одну точку их пересечения - в середине гипотенузы. Это и будет единственно возможная четвёртая точка.

(Трёхмерность)

PS. Выход из плоскости в третье измерение решение не изменит т.к. треугольник 6-8-10 никуда не денется и всегда лежит в плоскости, а две сферы из трёх радиусом 5 будут лишь касаться друг дружку в середине гипотенузы. Никаких других общих точек у них нет. Так что 4-я точка не может лежать нигде кроме как в середине гипотенузы.

[svv]

Dmitriy40
Рёбра $6,8,10$ не обязательно составляют треугольник.

[Dmitriy40]

svv
Да, с этим я немного промахнулся, исправлюсь.
У треугольников с рёбрами $(10,8,5)$ и $(10,6,5)$ с общим ребром $10$ вершины удалены друг от друга на $\approx 3.013$ или $\approx 2.19$ или $\approx 6.724$ или $\approx 6.4$ (в зависимости от варианта расположения треугольников), что во всех случаях сильно далеко от требуемых $5$. Так что такая фигура на плоскости всё же невозможна.

[svv]

Я тоже пришёл к этому выводу. Сначала перебрал все принципиально различные конфигурации, в случае б) их оказалось аж две. Потом воспользовался формулой для объёма тетраэдра через длины рёбер (определитель Кэли-Менгера). Считал, конечно, Вольфрам. Объём обеих конфигураций ненулевой $\Rightarrow$ они неплоские, но, что удивительно, один и тот же, хотя никаких простых симметрий, переводящих одну конфигурацию в другую, я не увидел, иначе это была бы одна конфигурация.

[covax]

svv а они не одинаковые ли получатся, с точностью до поворотов/отражений?

(Оффтоп)

Там же $(\frac{6}{3})=20$ вариантов основания и 6 вариантов расставить ребра пирамиды. Плюс симметрия всё это в разы скушает. Завтра, если найду полчаса времени, наговнокодю.

[Aritaborian]

(ТеХническое)

covax, для биномиальных коэффициентов существует отдельная, специально придуманная команда \binom {n} {k}.

[mihiv]

Только сейчас заметил, что взял то же расположение точек, что и worm2 .

[svv]

covax в сообщении #1151499 писал(а):

svv а они не одинаковые ли получатся, с точностью до поворотов/отражений?

Конечно, симметрии сильно уменьшают число существенно различных конфигураций — у меня вот всего две получились, — но всё-таки не настолько, чтобы осталась совсем одна.

Как я считал. Рёбра длиной 5 могут образовывать три конфигурации, их можно изобразить буквами $\textsf{Y}, \Delta$ и $\textsf{П}$.
$\textsf{Y}$ отбрасывается, потому что некуда деть ребро $10$: оно обязательно образует вырожденный треугольник с рёбрами $5$ и $5$.
В конфигурации $\Delta$ уже не имеет значения, как провести остальные рёбра.
В конфигурации $\textsf{П}$ ребро $10$ должно соединять концы этой цепочки, остальное не важно.