2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Изоморфизмы пространств
Сообщение26.02.2006, 14:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/10/05
1142
Помогите, пожайлуста, показать показать следующии изоморфизмы:
1) $ (\mathbb R_{> 0}, *) $ изоморфно к $ (\mathbb R, +) $
2) $ (\mathbb C^{*}, *) $ изоморфно к $ (\mathbb C, +) $

Я сделала следующии размышления: в 1) множество плотно всюду. Рассматриваю отрицательную часть множества, определённого на всём $ \mathbb R $, получаю отрицательное число. Здесь я возможно могу отобразить его на положительное число множества отображённого на положительную часть. Но здесь я использую, что изоморфизм это биективный гомоморфизм и поскольку множество плотно, то его построить не удаётся.
Я сдала так задание и когда получила его обратно, там было написано, что это неверно. В подсказке было написано:" поэксперементируй с примерами чисел".
Второй я решала следующим образом. Я ввела понятия следующих комплексных чисел: $ e^{-i0}, e^{-i\frac {\pi} 2}, e^{-i \pi}, e^{-i \frac {3\pi} 2} $ и соответственно $ e^{i0}, e^{i\frac {\pi} 2}, e^{i \pi}, e^{i \frac {3\pi} 2} $. Получила, что множества изоморфны (правда здесь я схитрила и сказала, что поскольку у углов (другое представление комплексных чисел с радиусом 1) операция "умножения" идентична операции "сложения" :oops: ). Но это опять оказалось неверно, мне написали, что я рассматривала в основном $ \mathbb{Z}/4\mathbb{Z}} $ и что на самом деле эти множества не изоморфны... Ну здесь, возможно опять долго эксперементировать со значениями, а существуют-ли методы, указывающии более простое решение?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение26.02.2006, 16:19 


14/02/06
4
А что мешает рассмотреть просто экспоненту в действительном случае? В действительном случае, она отображает действительную прямую на полупрямую, причём взаимно однозначно, т.к. определена обратная функция логарифма.
А в комплексном случае это не верно. Потому что по правилам изоморфизма единица группы переходит в единицу. То есть 1 переходит в 0. Однако в мультипликативной группе C есть элементы которые в конечной степени дают 1. Например -1. Если изоморфизм существует, то тогда существует$x \in \mathbb{C}$ такой что $2x = 0, x\neq 0$. А это не верно. Может быть под изоморфизмом что-то другое понимается у вас?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение26.02.2006, 16:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/10/05
1142
Спасибо за подсказки! Под изоморфизмом у нас подразумевается биективный гомоморфизм.
Да, обе идеи очень хороши, спасибо Вам огромное :P

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение26.02.2006, 16:31 


14/02/06
4
Ну тогда для C такого нет. Вон есть контрпример.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group