Уравнение 4-ой степени

[scwec]

Докажите, что для любого рационального $n$ уравнение $y^2=x^4+nx^3-1$ имеет рациональные решения $x,y$.

[Iam]

Я отнесся несерьезно - придется потрудиться...

[Коровьев]

Я думаю scwec ошибся с формулировкой, ибо даже общее уравнение кривой
$y^2=x^4+ax^3+bx^2+cx+d$ при рациональных ненулевых коэффициентах всегда имеет рациональную точку.

Путём замены $$\[x = \frac{1}{z}\]$ уравнение сводится к кривой с рациональной точкой $z=0,y'=1$,
а дальше известная методика.

В данном случае кривая сводится к кривой
$\[ y'^2 = - z^4 + nz + 1 \]$
имеющую рациональную точку
$$\[ z= \frac{{8n^3 }}{{n^4 + 64}},y' = \frac{{ 3n^8 -384n^4 -4096}}{{\left( {n^4 + 64} \right)^2 }} \] $
Возможно ТС имел в виду уравнение
$y^2=x^4+nx^2-1$
Я в первый раз так и прочитал!

[scwec]

Коровьев, Решение получено верное. Оно и имелось в виду.
Имеется продолжение.
Имелось в виду доказательство наличия бесконечного числа рациональных решений (кроме $n=0$, конечно). В условии это отсутствует.
В этом смысле утверждение задачи для уравнения $y^2=x^4+nx^2-1$ неверно.
Для натуральных $n$ бесконечное кол-во рациональных решений имеется для:
$n=4,6,9,10,16,18,19,20,21,22,23,24,25,...$.

Относительно замены $z=\frac{1}{x}$.
Рассмотрим уравнение $y^2=x^4-11\qquad(1)$.
После указанной замены: $Y^2=-11z^4+1$ рациональная точка $(z,Y)=(0,1)$ есть, а рациональных точек $(x,y)$ нет.
Тут дело в том, что в форме Вейерштрасса уравнение $(1)$ запишется (по известной методике) как $w^2=u^3+44u\qquad(2)$.
Единственная рациональная точка на $(2)$ это $P=(0,0)$.
При обратном преобразовании $(2)$ в $(1)$, $P$ переходит в $\infty$.

В продолжение.
Докажите, что уравнение $y^2=x^4+nx^3+k$, где $n,k\ne{0}$ любые целые числа,
имеет бесконечно много рациональных решений.

[scwec]

Коровьев в сообщении #1117628 писал(а):

ибо даже общее уравнение кривой
$y^2=x^4+ax^3+bx^2+cx+d$ при рациональных ненулевых коэффициентах всегда имеет рациональную точку.
Путём замены $$\[x = \frac{1}{z}\]$ уравнение сводится к кривой с рациональной точкой $z=0,y'=1$,
а дальше известная методика.

По этому поводу привожу уравнение кривой $y^2=x^4+6x^3+16x^2+21x+12$, на которой нет рациональных точек (кроме формальной $\infty$).

[Коровьев]

Я не говорил, что на модифицированной кривой кроме тривиальной точки есть и другие. И Ваш пример тому пример .
В литературе не даром рассматривают приведённое уравнение

$$y^2 = x^4 + bx^2 + cx + d$

с нулевым коэффициентом при $x^3$ и ненулевым коэффициентом при $x$. В таком виде уравнение всегда имеет рациональную точку

$$\[ x = \frac{{b^2 - 4d}}{{4c}} \] $
$$\[ y = \frac{{b^4 }}{{16c^2 }} - \frac{{db^2 }}{{2c^2 }} + \frac{b}{2} + \frac{{d^2 }}{{c^2 }} \] $

Но если коэффициент при $x$ равен $0$, то уравнение превращается в биквадратное и это решение не проходит.
Наличие же рациональных точек в этом случае вопрос достаточно сложный.

Приведённое выше уравнение подстановкой $x=t-3/2$ превращается в биквадратное

$$\[ z^2 = t^4 + \frac{5}{2}t^2 + \frac{{21}}{{16}} \] $

которое, доверяя scwec, рациональных решений не имеет.

[scwec]

Коровьев, сейчас Вы написали правильный текст с разъяснением того, что Вы имели в виду.
Я же просто показал, что вот это утверждение

Коровьев в сообщении #1117628 писал(а):

ибо даже общее уравнение кривой
$y^2=x^4+ax^3+bx^2+cx+d$ при рациональных ненулевых коэффициентах всегда имеет рациональную точку.

не верно.

[scwec]

Надо показать все же, что на кривой с уравнением $y^2=x^4+\dfrac{5}{2}x^2+\dfrac{21}{16}\qquad(1)$ (а,сл-но и на исходной кривой)
нет рациональных точек.
Следуя методе Морделла вводим переменные $X,Y$ в данном случае cледующим образом:
$X=\dfrac{12y+12x^2+5}{24}, Y=\dfrac{4xy+4x^3+5x}{4}\qquad(2)$
В обратную сторону: $x=\dfrac{6Y}{12X+5}, y=\dfrac{-432Y^2+3456X^3+2160X^2-125}{(12X+5)^2}\qquad(3)$.
Уравнение $(1)$ в переменных $X,Y$ приводится к $Y^2=4X^3-\dfrac{11}{6}X-\dfrac{205}{432}\qquad(4)$,
а в переменных $u,w$ таких, что $u=746496X, w=322486272Y$, уравнение $(4)$
эквивалентно $w^2=u^3-255409127424u-49350615981096960\qquad(5)$
Ранг эллиптической кривой $(5)$ равен нулю.

gp > ellanalyticrank(ellinit([0,0,0,-255409127424,-49350615981096960]))[1]
%1 = 0

Сл-но на кривой $(5)$ нет рациональных точек бесконечного порядка.
Рациональные точки конечного порядка на $(5)$ это $(u,w)=(-311040,0)$ и $\infty$.

gp > E=ellinit([0,0,0,-255409127424,-49350615981096960]);
gp > elltors(E)
%2 = [2, [2], [[-311040, 0]]]

Единственной рациональной точке $(-311040,0)$ на кривой $(5)$ соответствует единственная рациональная точка $(-5/12,0)$ на кривой $(4)$.
Допустим, что на кривой $(1)$ имеется рациональная точка. Тогда в соответствии с $(2)$ есть рациональная точка на кривой $(4)$.
По доказанному выше - это единственная рациональная точка $(-5/12,0)$
Решаем систему уравнений $(2)$: $\dfrac{12y+12x^2+5}{24}=-\dfrac{5}{12}, \dfrac{4xy+4x^3+5x}{4}=0$
Решение системы - это $y=-x^2-\dfrac{5}{4}$. Но тогда $y^2=x^4+\dfrac{5}{2}x^2+\dfrac{25}{16}$ и,сл-но $(x,y)$ не лежит на кривой $(1)$.
ч.т.д.