Алгебра группы SU(n)

[Metford]

Вопрос касается доказательства простоты группы $SU(n)$. О том, что это так, где угодно написано - хотелось бы деталей.

Как я понимаю, доказать нужно, что у этой алгебры нет идеалов. Под идеалом понимается подалгебра, обладающая тем свойством, что для любых двух элементов: один просто из алгебры, другой - из подалгебры - их коммутатор принадлежит подалгебре (я применительно к алгебрам Ли определение привожу).
Видимо, достаточно разобраться на уровне генераторов, есть ли там подалгебра такая. Но вот как это сделать, не представляю. В распоряжении есть вроде бы только коммутационное соотношение для генераторов группы $SU(n)$ - причём не тех, которые эрмитовы, а тех, которые являются просто матрицами с одним отличным от нуля элементом. Как его использовать и его ли нужно использовать - тоже неясно.
Помогите разобраться, пожалуйста.

[lek]

Можно использовать индукцию по $n$. Представим алгебру Ли группы $SU(n+1)$ в виде прямой суммы векторных пространств $su(n+1)=su(n)+V_{n}$, где элементами $V_{n}$ являются матрицы с ненулевыми элементами в $n+1$ стороке и столбце. Тогда $[su(n),V_{n}]\subset V_{n}$ и $[V_{n},V_{n}]\subset su(n)$. Пусть $H$ - идеал алгебры $su(n+1)$ и $H_{0}=H\cap su(n+1)$. Ясно, что $H_{0}$ - идеал подалгебры $su(n)$. В силу индуктивного предположения, последняя проста. Поэтому, $H_{0}=0$ или $H_{0}=su(n)$. Из первого условия получаем, что $H\subset V_{n}$ и $[H,H]=0$. Проверяя эти условия на элементах $V_{n}$ показываем, что $H=0$. Из второго, ввиду максимальности подалгебры $su(n)\subset H$, следует, что $H=su(n+1)$.

[Metford]

lek, спасибо за ответ. Это нужно обдумать...

[Metford]

Вопрос несколько из другой степи и скорее к физикам, но всё равно про одну из групп $SU(n)$, так что новую тему открывать, наверное, незачем.

Вот есть так называемые weight diagrams - схемы мультиплетов, по которым частицы раскладывают. Скажем, если это $SU(3)$-мультиплеты, то вводятся оси $T_3$ и $Y$. Они соответствуют вполне определённым генераторам алгебры группы $SU(3)$ - с ними всё ясно.

Теперь перейдём к $SU(4)$-мультиплетам. В алгебре этой группы подалгебра Картана содержит три генератора. Выбрать я их могу по своему усмотрению. Это может быть любая линейная комбинация матриц $\lambda_3,\lambda_8,\lambda_{15}$. Однако существуют вполне уже канонические картинки, изображающие $SU(4)$-мультиплеты. Они, естественно, трёхмерные, одна координатная плоскость старая - $T_3$ и $Y$ - и добавляется число $C$, с которым физически всё ясно. И вот что-то стало мне интересно, какому выбору третьего элемента подалгебры Картана вся эта картина соответствует. В литературе такие мультиплеты нечасто рисуют, а в подписи всегда, конечно же, только то, что $C$ - чарм. Подскажите, пожалуйста, где-нибудь внятно сказано, какому генератору соответствует это квантовое число? Я построил свой собственный вариант, но он мне не нравится (хотя с математической точки зрения выглядит неплохо).

[Munin]

Ну вроде, $\lambda_3$ и $\lambda_8$ используются для построения "старой" $SU(3)$-плоскости, так что остаётся $\lambda_{15}.$

[Metford]

Меня знаете какое соображение останавливает. Стал я строить стандартный базис Картана-Вейля. Положил по определению $e_{\pm\alpha}=\frac{1}{2}(\lambda_1\pm i\lambda_2)$, $e_{\pm\beta}=\frac{1}{2}(\lambda_6\pm i\lambda_7)$, $e_{\pm\gamma}=\frac{1}{2}(\lambda_{13}\pm i\lambda_{14})$ - ничем не плохой выбор. Тогда получилось, что

$$[e_{\alpha},e_{\beta}]=\frac{1}{2}(\lambda_4+ i\lambda_5)=e_{\alpha+\beta},[e_{-\alpha},e_{-\beta}]=\frac{1}{2}(\lambda_4- i\lambda_5)=e_{-\alpha-\beta},$$

аналогично с двумя другими подобными коммутаторами и

$$[e_{\alpha},e_{-\alpha}]=2h_1, h_1=\frac{1}{2}\lambda_3,[e_{\beta},e_{-\beta}]=2h_2, h_1=\frac{1}{4}(\sqrt{3}\lambda_8-\lambda_3),$$

$$[e_{\gamma},e_{-\gamma}]=2h_3, h_3=\frac{1}{2\sqrt{3}}(\sqrt{2}\lambda_{15}-\lambda_8).$$

Генераторы $h_1,h_2,h_3$, как положено, коммутируют между собой, и имеют при этом весьма приятный для глаза вид (по два ненулевых элемента на главной диагонали).

[lek]

Metford в сообщении #1149421 писал(а):

... какому генератору соответствует это квантовое число

Никакому. В фундаментальном представлении $SU(4)$ след оператора $C$, действующего на квартет кварков (включающий $c$-кварк), равен $\pm1$. Это противоречит бесследовости генераторов специальной унитарной группы. Плоскольку все представления высших размерностей строятся из тензорных произведений фундаментальных, утверждение "никакому" справедливо всегда.

[Munin]

Ну, это, в общем-то, очевидно: правильный генератор должен, добавляя кварк $c,$ убавлять одновременно поровну все остальные кварки.

[Metford]

А по какому принципу тогда строятся мультиплеты? В случае $SU(3)$ есть ведь целая техника повышающих-понижающих операторов, фактически отталкивающаяся от собственных векторов операторов $T_3$, $Y$. Смотрят, как остальные операторы действуют на состояния, соответствующие определённым числам $t_3,y$ - получается набор точек в плоскости этих переменных и правила перехода от одной точки к другой. Я знаю, что тензорные представления в этом смысле удобнее, но всё-таки $SU(4)$ можно и наглядно построить - собственно, такие картинки и в PDG, например, есть. Как это делается формально?

[lek]

Metford в сообщении #1149508 писал(а):

А по какому принципу тогда строятся мультиплеты?

Весовые диаграммы приведены в статье M.K. Gaillard and B.W. Lee, а конструкция $SU(4)$ представлений подробно обсуждена D. Amati et. al.

[Metford]

lek, спасибо Вам огромное! То, что нужно.