Уравнение моментов относительно ускоренно движущегося начала

[svv]

Knight7 в сообщении #1149092 писал(а):

Что-то я запутался. Как можно на поверхности (т.е. на ковре) выбрать неподвижную точку? Ведь поверхность находится в движении. Или вы про поверхность цилиндра? Но там тоже, насколько я понимаю, нет неподвижных точек (всё ускоряется).

Тут точка в геометрическом смысле, поэтому движение чего-то там помехой не является. Да, именно точка, неподвижная относительно комнаты. Собственно, движение ковра (например) и означает, что положение выбранной частички ковра в разные моменты времени совпадает с положением разных неподвижных точек.

Ниже «точка» понимается в геометрическом смысле, а в физическом — «частица тела». Скорость точек не обязана совпадать со скоростью частиц тел, находящихся в том же месте.

Knight7 в сообщении #1149092 писал(а):

P.S. - решил еще раз проверить вывод формулы (30.6) у Сивухина: $\mathbf L=\mathbf L'-[\mathbf R\mathbf p]$. Странно - там предполагается, что $O$ и $O'$ - два неподвижных начала. Но в выводе формулы это предположение никак не используется. Иными словами она справедлива и для подвижных начал? (Если это так, то тогда все мои вопросы отпадают).

Да, эта формула справедлива и для подвижных начал. Но из этого факта легко сделать неверные выводы.

Что такое «подвижное начало»? Это некоторая облегчённая альтернатива переходу в другую систему отсчета, которая состоит в следующем. Возьмём формулу $\mathbf L=\sum m\mathbf r\times\mathbf v$, где суммирование производится по всем частицам тела, и примем следующие правила игры: будем все радиус-векторы откладывать от подвижной точки $O$ (как будто перейдя в подвижную СО с началом отсчета $O$), но все скорости будем определять относительно неподвижной системы.

Допустим, у нас есть две точки: неподвижная $A$ и подвижная $O$, и в момент времени $t$ они совпадают. Тогда из моего описания понятия подвижного начала очевидно, что в момент времени $t$ величины $\mathbf L_A$ и $\mathbf L_O$ (где индекс обозначает точку-начало), совпадают. В самом деле, в этот момент для каждой частицы тела при обоих способах выбора начала будут совпадать и радиус-векторы, и скорости.

Раз так, зачем тогда вся возня, затеянная Сивухиным в параграфе 37? А дело в том, что, совпадая в момент времени $t$ по значению, $\mathbf L_A$ и $\mathbf L_O$ имеют разные производные по времени — из-за того, что в случае $\mathbf L_O$ у каждого радиус-вектора движется не только конец, но и начало. И этот факт приводит к тому, что для $\mathbf L_O$ уравнение $\dot{\mathbf L}_O=\mathbf M_O$ неверно.

Поэтому — ответ: да, но будьте осторожны с производными.

[Knight7]

Спасибо за пояснения, но вопросы все равно есть.

svv в сообщении #1149118 писал(а):

из-за того, что в случае $\mathbf L_O$ у каждого радиус-вектора движется не только конец, но и начало

Тут, видимо, имелось в виду $\mathbf L_A$, т.к. в вашем примере подвижна $A$.

svv в сообщении #1149118 писал(а):

И этот факт приводит к тому, что для $\mathbf L_O$ уравнение $\dot{\mathbf L}_O=\mathbf M_O$ неверно.

Вот это мне не очень понятно. Если здесь $O$ это та самая точка соприкосновения, что в задаче ТС, то мы ведь уже согласились, что уравнение $\dot{\mathbf L}_O=\mathbf M_O$ верно. Неверно только то, что $\mathbf{L_O}=I_O\boldsymbol{\omega}$.

svv в сообщении #1149118 писал(а):

дело в том, что, совпадая в момент времени $t$ по значению, $\mathbf L_A$ и $\mathbf L_O$ имеют разные производные по времени

Это так, но ведь формула (30.6) как раз и показывает, что $\mathbf{L_O}$ и $\mathbf{L_C}$ в общем случае отличны (на $\mathbf{R}\times\mathbf{p}$) и соответственно их производные также не совпадают.
Возвращаясь к задачи ТС, я понял так: формула (30.6) справедлива для всех моментов времени и для подвижных начал, поэтому, дифференцируя:

$$\mathbf{\dot{L_O}}=\mathbf{\dot{L_C}}-(\underset{=0}{\underbrace{\mathbf{\dot{R}}}}\times\mathbf{p}+\mathbf{R}\times\mathbf{\dot{p}})=I_C \boldsymbol{\dot{\omega}}-\mathbf{R}\times m\mathbf{\dot{v_C}}$$

а также, согласно (37.2):

$$\dot{\mathbf{L_O}}=\mathbf{M_O}-m\mathbf{v}_O \times \mathbf{v}_C=\mathbf{M_O}=\mathbf{0}$$

Проецируя и подставляя кинематическую связь (качения без скольжения) получаем правильный ответ. Что вы думаете?

[svv]

Knight7 в сообщении #1149462 писал(а):

Тут, видимо, имелось в виду $\mathbf L_A$, т.к. в вашем примере подвижна $A$.

Блин. Редактировал, редактировал, да не выредактировал.
Сейчас исправил. Итак: $A$ неподвижная, $O$ подвижная.

Knight7 в сообщении #1149462 писал(а):

Вот это мне не очень понятно. Если здесь $O$ это та самая точка соприкосновения, что в задаче ТС, то мы ведь уже согласились, что уравнение $\dot{\mathbf L}_O=\mathbf M_O$ верно.

Да, конечно, но я говорю об общей ситуации (поскольку мы обсуждаем формулы Сивухина, ну, или я, по крайней мере). Ведь то, что Вы процитировали, было ответом на достаточно общий вопрос:

Knight7 в сообщении #1149092 писал(а):

решил еще раз проверить вывод формулы (30.6) у Сивухина: $\mathbf L=\mathbf L'-[\mathbf R\mathbf p]$. Странно - там предполагается, что $O$ и $O'$ - два неподвижных начала. Но в выводе формулы это предположение никак не используется. Иными словами она справедлива и для подвижных начал?

Далее я не буду в каждой фразе повторять «в общем случае», но это подразумевается, где необходимо.

Knight7 в сообщении #1149462 писал(а):

Это так, но ведь формула (30.6) как раз и показывает, что $\mathbf{L_O}$ и $\mathbf{L_C}$ в общем случае отличны (на $\mathbf{R}\times\mathbf{p}$) и соответственно их производные также не совпадают.

Тут логика чуть сложнее. Рассмотрим, как прежде, момент времени, когда точки $A$ и $O$ совпадают. Разумеется, $\dot{\mathbf L}_A$ и $\dot{\mathbf L}_O$ не совпадают (хотя ${\mathbf L}_A={\mathbf L}_O$), и это понятно из формулы (30.6). Следовательно, уравнения $\dot{\mathbf L}_A=\mathbf M_A$ и $\dot{\mathbf L}_O=\mathbf M_O$ не могут быть справедливы одновременно, так как правые части у них равны, а левые — нет. Следовательно, для подвижного начала $O$ обычное уравнение моментов несправедливо. Следовательно, даже если Вы найдёте правильное значение $\dot{\mathbf L}_O$ с учётом подвижности начала $O$, Вы не получите правильного уравнения, если приравняете эту производную $\mathbf M_O$.

Итак, есть два разных «эффекта»:
1) Моменты $\mathbf L$, вычисленные относительно двух разных точек, не совпадают. Разница даётся формулой (30.6).
Следствие: величины $\dot{\mathbf L}$, вычисленные относительно двух точек, мгновенно совпадающих, но имеющих разную скорость, не совпадают.
2) Уравнения моментов относительно двух точек, из которых одна подвижна, другая неподвижна, имеют различный вид даже в момент совпадения точек. Разница ясна из формулы (37.1).

Knight7 в сообщении #1149462 писал(а):

Что вы думаете?

Думаю, что это тоже правильный подход. Это третий вариант выбора начала (у меня было два неподвижных, у Вас — подвижное).

[Knight7]

svv в сообщении #1149480 писал(а):

Следовательно, для подвижного начала $O$ обычное уравнение моментов несправедливо. Следовательно, даже если Вы найдёте правильное значение $\dot{\mathbf L}_O$ с учётом подвижности начала $O$, Вы не получите правильного уравнения, если приравняете эту производную $\mathbf M_O$.

Согласен с вашими утверждениями. Но тогда как быть с формулой $\dot{\mathbf{L}}=\mathbf{M}-m\mathbf{v}_O \times \mathbf{v}_C$ (37.2) согласно которой $\dot{\mathbf{L}}_O=\mathbf{M}_O$?

[svv]

В двух предыдущих моих сообщениях я уже совсем оставил первоначальную задачу и обсуждаю теорию. Применить правильные общие формулы к частным случаям мы всегда сможем. Труднее наоборот, распространять частные закономерности на общий случай.

[Knight7]

svv в сообщении #1154359 писал(а):

В двух предыдущих моих сообщениях я уже совсем оставил первоначальную задачу и обсуждаю теорию

Я говорю о вашей задаче. У вас $O$ подвижная, соответственно:

$$\mathbf{\dot{L_O}}=[\dot{\mathbf{r}} \mathbf{p}]+[\mathbf{r} \dot{\mathbf{p}}]=[\mathbf{(v-v_O)p}]+[\mathbf{r} \dot{\mathbf{p}}]=\mathbf{M_O}-[\mathbf{v_O p}]$$

Значит когда $\mathbf{v_O}$ и $\mathbf{p}$ коллинеарны то $$\mathbf{\dot{L_O}}=\mathbf{M_O}$, т.е. уравнение относительно подвижного начала имеет такой же вид, что и относительно $A$. Значит при определенном движении точки $O$, вполне возможно, что $\mathbf{\dot{L_O}}=\mathbf{M_O}$.

[svv]

В этом частном случае — да.
См.ещё post1148888.html#p1148888