Изоморфизмы пространств

[Capella]

Помогите, пожайлуста, показать показать следующии изоморфизмы:
1) $ (\mathbb R_{> 0}, *) $ изоморфно к $ (\mathbb R, +) $
2) $ (\mathbb C^{*}, *) $ изоморфно к $ (\mathbb C, +) $

Я сделала следующии размышления: в 1) множество плотно всюду. Рассматриваю отрицательную часть множества, определённого на всём $ \mathbb R $, получаю отрицательное число. Здесь я возможно могу отобразить его на положительное число множества отображённого на положительную часть. Но здесь я использую, что изоморфизм это биективный гомоморфизм и поскольку множество плотно, то его построить не удаётся.
Я сдала так задание и когда получила его обратно, там было написано, что это неверно. В подсказке было написано:" поэксперементируй с примерами чисел".
Второй я решала следующим образом. Я ввела понятия следующих комплексных чисел: $ e^{-i0}, e^{-i\frac {\pi} 2}, e^{-i \pi}, e^{-i \frac {3\pi} 2} $ и соответственно $ e^{i0}, e^{i\frac {\pi} 2}, e^{i \pi}, e^{i \frac {3\pi} 2} $. Получила, что множества изоморфны (правда здесь я схитрила и сказала, что поскольку у углов (другое представление комплексных чисел с радиусом 1) операция "умножения" идентична операции "сложения" ). Но это опять оказалось неверно, мне написали, что я рассматривала в основном $ \mathbb{Z}/4\mathbb{Z}} $ и что на самом деле эти множества не изоморфны... Ну здесь, возможно опять долго эксперементировать со значениями, а существуют-ли методы, указывающии более простое решение?

[Кордер]

А что мешает рассмотреть просто экспоненту в действительном случае? В действительном случае, она отображает действительную прямую на полупрямую, причём взаимно однозначно, т.к. определена обратная функция логарифма.
А в комплексном случае это не верно. Потому что по правилам изоморфизма единица группы переходит в единицу. То есть 1 переходит в 0. Однако в мультипликативной группе C есть элементы которые в конечной степени дают 1. Например -1. Если изоморфизм существует, то тогда существует$x \in \mathbb{C}$ такой что $2x = 0, x\neq 0$. А это не верно. Может быть под изоморфизмом что-то другое понимается у вас?

[Capella]

Спасибо за подсказки! Под изоморфизмом у нас подразумевается биективный гомоморфизм.
Да, обе идеи очень хороши, спасибо Вам огромное

[Кордер]

Ну тогда для C такого нет. Вон есть контрпример.