ТФКП Интеграл по кривой, интегральная формула Коши и лог-м.

[Pallant]

Рассмотрим функцию Кебе

$$f(z)=\frac{z}{(1-e^{i\theta}z)^2},$$

отображающую единичный круг на плоскость с разрезом по лучу, начинающемуся в точке $\displaystyle\frac{e^{i(\pi-\theta)}}{4}$, $\displaystyle f\left(e^{i(\theta+\pi)}\right)=\frac{e^{i(\pi-\theta)}}{4}$, $f\left(e^{-i\theta}\right)=\infty$.
Разложение функции $f'$ в полуокрестности точки $e^{-i\theta}$ имеет вид

$$f'(z)=\frac{c}{(z-e^{-i\theta})^3}+...,$$

Разложение функции $f'$ в полуокрестности точки $e^{i(-\theta+\pi)}$ имеет вид

$$f'(z)=\widetitle{c}(z+e^{-i\theta})+...$$

Можем продолжить отображение $f$ аналитически через дугу единичной окружности, соединяющей точку $e^{-i\theta}$ и $e^{i(\pi-\theta)}$, сопряженную к ней дугу обозначим через $\gamma$. Отображение $\ln\left(f'(z)(z-e^{-i\theta})^3(z+e^{-i\theta})^{-1}\right)$, определенное в области $\Bbb C\backslash\gamma$, аналитично в этой области и непрерывно на границе $\Gamma$. Применяя интегральную формулу Коши к этому отображению, получим

$$\ln f'(z)=\ln\frac{z+e^{-i\theta}}{(z-e^{-i\theta})^3}+\frac{1}{2\pi i}\int\limits_{\Gamma}\frac{f'(\eta)(\eta-e^{-i\theta})^3(\eta+e^{-i\theta})^{-1}}{\eta-z}d\eta.$$

Интеграл в этом равенстве равен нулю, так как, насколько я понимаю, сумма интегралов по одной кривой, обходимой в разных направлениях равна нулю. Тогда запишем

$$\ln f'(z)=\ln\frac{e^{-i\theta}(1+ze^{i\theta})}{-e^{-3i\theta}(1-ze^{i\theta})^3}=\ln\frac{1+ze^{i\theta}}{(1-ze^{i\theta})^3}+2\theta+\pi.$$

Но найдя производную функции Кебе

$$f'(z)=\frac{1+ze^{i\theta}}{(1-ze^{i\theta})^3}$$

и подставляя в полученное равенство, тождества не получаем, получаем $2\theta+\pi=0$. Не понимаю откуда возникает это слагаемое, думал что где-то может ветвь логарифма меняется, но вроде бы аргумент логарифма ни где не делает обход особых точек.

[DeBill]

Pallant в сообщении #1148863 писал(а):

Применяя интегральную формулу Коши к

Ошибка - здесь. (В формуле Коши интеграл берется по границе ОГРАНИЧЕННОЙ области).

(Оффтоп)

Для неограниченной: надо добавить вычет на бесконечности. Поскольку функция, с которой Вы работаете - константа - то вычет на бесконечности как раз этой константой и будет, и аннулирует Ваш излишек

[Pallant]

Спасибо!
Не подскажете что можно почитать о интегральной теореме Коши для неограниченной функции?

[DeBill]

Pallant в сообщении #1149089 писал(а):

неограниченной функции?

Не функции - ОБЛАСТИ! Да ничего особого не надо: Просто теорема Коши о вычетах (она работает для любых областей. Только надо помнить, что точку "бесконечность" всегда следует относить к особым: даже если она - устранимая, то вычет в ней может быть ненулевым)

[Pallant]

Описался на счет функции, еще опечатка есть -- в подынтегральном выражении $\ln$ не хватает.

Спасибо еще раз за ответ!