Уравнение моментов относительно ускоренно движущегося начала

[iwndr]

В Берклеевском курсе рассматривается следующая простая задача:

Цитата:

Цилиндр лежит на негладкой поверхности (например, ковер). Ковер начинают тянуть с постоянным ускорением $a$, перпендикулярно оси симметрии цилиндра. Описать движение цилиндра если известно, что он не скользит по поверхности.

У Сивухина доказывается (см. §37 - уравнение моментов относительно движущегося начала и движущейся оси), что

$$\dot{\mathbf{L}}=\mathbf{M}-m\mathbf{v}_O \times \mathbf{v}_C$$

Где $\mathbf{L}$ - момент импульса системы, $\mathbf{M}$ - момент внешних сил, $m$ - масса системы, $\mathbf{v}_O$ - скорость начала (в ИСО) и $\mathbf{v}_C$ - скорость центра масс.

Удобно написать уравнение моментов относительно мгновенной оси проходящей через точку $O$ соприкосновения цилиндра с поверхностью. Все силы в этой задаче (сила тяжести, нормальная сила со стороны поверхности и трение) проходят через $O$. Более того, $\mathbf{v}_O$ и $\mathbf{v}_C$ коллинеарны, а значит:

$$\dot{L}=0\Rightarrow I_O \omega = \operatorname{const}=(mR^2+I_C) \omega$$

Иными словами, $\omega$ постоянна. Это конечно неправильно.

В Берклеевском курсе написано, что такой подход неверен, поскольку следует учитывать силу инерции, т.е. правильное уравнение моментов должно выглядеть так:

$$I_O \omega = maR$$

Получается, что у Сивухина ошибка в выводе уравнения моментов относительно движущегося начала? Или по какой-то причине это уравнение здесь неприменимо? Заранее спасибо за пояснения.

[DimaM]

iwndr в сообщении #1104895 писал(а):

Получается, что у Сивухина ошибка в выводе уравнения моментов относительно движущегося начала? Или по какой-то причине это уравнение здесь неприменимо?

Выражение для момента импульса представляется мне неверным. Правильно было бы ${\bf L}=m{\bf R}\times{\bf v}_C+I_0\omega$. После этого из $\dot{L}=0$ правильно НЕ следует постоянство угловой скорости.

[iwndr]

DimaM в сообщении #1105114 писал(а):

iwndr в сообщении #1104895 писал(а):

Получается, что у Сивухина ошибка в выводе уравнения моментов относительно движущегося начала? Или по какой-то причине это уравнение здесь неприменимо?

Выражение для момента импульса представляется мне неверным. Правильно было бы ${\bf L}=m{\bf R}\times{\bf v}_C+I_0\omega$. После этого из $\dot{L}=0$ правильно НЕ следует постоянство угловой скорости.

Спасибо за ответ. Насколько я понимаю, это уравнение Эйлера? И еще - получается, у Сивухина рассматривается некий частный случай? Или как? Еще раз спасибо.

[svv]

Речь лишь о связи между моментами импульса, вычисленными относительно двух разных точек. В Берклеевском курсе это формула (53) в пункте 6.2 «Сохранение момента импульса»:
$\mathbf J=\mathbf J_{\text{ц.м.}}+\mathbf R_{\text{ц.м.}}\times\mathbf P$
У Сивухина ближайшим аналогом, пожалуй, является (30.6):
$\mathbf L=\mathbf L'-[\mathbf R\mathbf p]$
Вы не обязаны рассматривать подвижное начало, как в §37. Можно взять неподвижное, через которое лишь в выбранный момент проходит мгновенная ось вращения. И «проблема» не связана с подвижностью начала. Просто момент импульса относительно $O$ определяется не только $\omega$, но и $v_C$.

[iwndr]

svv в сообщении #1105223 писал(а):

Можно взять неподвижное, через которое лишь в выбранный момент проходит мгновенная ось вращения

Иными словами перейти в неинерциальную систему отсчета связанную с поверхностью? Да, я именно так и поступил. И все же, мне интересно рассмотреть случай с подвижным началом.

svv в сообщении #1105223 писал(а):

Речь лишь о связи между моментами импульса, вычисленными относительно двух разных точек. В Берклеевском курсе это формула (53) в пункте 6.2 «Сохранение момента импульса»:
$\mathbf J=\mathbf J_{\text{ц.м.}}+\mathbf R_{\text{ц.м.}}\times\mathbf P$
У Сивухина ближайшим аналогом, пожалуй, является (30.6):
$\mathbf L=\mathbf L'-[\mathbf R\mathbf p]$
Вы не обязаны рассматривать подвижное начало, как в §37. Можно взять неподвижное, через которое лишь в выбранный момент проходит мгновенная ось вращения. И «проблема» не связана с подвижностью начала. Просто момент импульса относительно $O$ определяется не только $\omega$, но и $v_C$.

Cпасибо. Однако меня смущает $\mathbf J_{\text{ц.м.}}$ в уравнении. Ведь если опираться на это уравнение получается следующее:
Момент импульса цилиндра относительно точки $O$ (напоминаю, что это "подвижная" точка контакта цилиндра с поверхностью), равен

$$L_O=L_C-Rp=I_C \omega - Rmv_C$$

где $L_C$ - момент импульса относительно центра масс. Отсюда дифференцируя получаем:

$$\dot{L_O}=I_C\dot{\omega} - maR$$

но согласно результату у Сивухина ($\dot{\mathbf{L}}=\mathbf{M}-m\mathbf{v}_O \times \mathbf{v}_C=\mathbf{M}$), получаем $\dot{L_O}=0$ или

$$I_C\dot{\omega}=maR$$

что очень похоже на результат из Берклеевского курса ($I_O \dot{\omega} = maR$ ; кстати, извиняюсь за упущенную точку над $\omega$ в исходном сообщении), но вот только здесь присутствует момент инерции относительно оси проходящей через ц.м. ($I_C$) а не через $O$. Где моя ошибка?

Спасибо.

[DimaM]

iwndr в сообщении #1105311 писал(а):

Иными словами перейти в неинерциальную систему отсчета связанную с поверхностью? Да, я именно так и поступил.

В неинерциальной надо еще учесть силу инерции.

iwndr в сообщении #1105311 писал(а):

Где моя ошибка?

А что у вас означает буковка $a$?

[iwndr]

DimaM в сообщении #1105369 писал(а):

В неинерциальной надо еще учесть силу инерции.

Конечно. Именно поэтому в уравнении моментов есть $maR$ - т.е. момент силы инерции (см. конец моего первого сообщения).

DimaM в сообщении #1105369 писал(а):

А что у вас означает буковка $a$?

Из условий задачи:

Цитата:

Ковер начинают тянуть с постоянным ускорением $a$

Т.е. ускорение точки $O$. Хм, видимо здесь моя ошибка. Ведь $v_C+\omega R = v_O$ (условие качения без скольжения). Получается, $\dot{v}_C=\dot{v}_O - \dot{\omega}R=a-\dot{\omega}R$. Отсюда:

$$0=\dot{L_O}=I_C\dot{\omega} - m\dot{v}_C R=I_C\dot{\omega}-mR (a-\dot{\omega}R)=(I_C+mR^2)\dot{\omega}-maR$$

или

$$(I_C+mR^2)\dot{\omega}=maR \Rightarrow \framebox{I_O\dot{\omega}=maR}$$

Теперь все правильно?

Спасибо.

[DimaM]

iwndr в сообщении #1105373 писал(а):

Теперь все правильно?

По-моему да.

[svv]

iwndr
Простите, я неудачно выразился (упомянув про мгновенный центр вращения), но я имел в виду исключительно рассмотрение в инерциальной системе отсчёта (в «системе комнаты»). Потому сил инерции нет.

Опишу своё решение для ясности. Проблема, с которой Вы обратились, здесь присутствует (и благополучно разрешается), поэтому найдёте и ответ на первоначальный вопрос.

Известно ускорение ковра $\dot v_{\text{к}}$ (возможно, и переменное). Из непроскальзывания следует уравнение $\dot v_C+\dot \omega R=\dot v_{\text{к}}$, где $v_{\text{к}}$ — скорость ковра.

Уравнения динамики: $\dot p=m\dot v_C=F$ и $\dot L=M$. Величины, входящие в последнее уравнение, зависят от начала. Рассмотрим два варианта.

Вариант 1. Моменты вычисляются относительно точки $C$:
$\dot L_C=M_C, \quad L_C=I_C\omega, \quad M_C=FR$, откуда $I_C\dot\omega=mR\dot v_C$.
В совокупности с условием непроскальзывания это уравнение позволяет найти $\dot v_C$ и $\dot\omega$.

Вариант 2. Моменты вычисляются относительно точки $O$.
Хотя $O$ — точка, где цилиндр касается ковра, при вычислении моментов я не обязан считать, что она подвижна.
Мы можем выбрать некоторый момент времени $t=t_0$ и неподвижную в ИСО точку $O$, где цилиндр касается ковра только в этот момент. Найдём $M, L$ относительно этой $O$, затем связь между $\dot v_C$ и $\dot\omega$. Тот факт, что в другой момент касание будет в другой неподвижной точке $O'$, на найденные связи не влияет. Для других моментов времени рассмотрение аналогично.
Имеем $M_O=0$, откуда $\dot L_O=0$.
Если бы было просто $L_O=I_O\omega$, это означало бы, как Вы и заметили, что $\omega=\operatorname{const}$. Но, согласно формуле пересчёта (30.6),
$L_O=L_C-pR=I_C\omega-mv_C R$,
откуда получаем тот же результат, что и раньше.

[iwndr]

DimaM в сообщении #1105399 писал(а):

По-моему да.

Отлично, спасибо.

svv
Спасибо за подробный ответ. По сути, в предыдущем сообщении я решал по варианту №2. Там ошибка была чисто в кинематике. Благодарю всех за помощь.

[Knight7]

svv в сообщении #1105402 писал(а):

Хотя $O$ — точка, где цилиндр касается ковра, при вычислении моментов я не обязан считать, что она подвижна.

Так всё же, почему формула для подвижного начала ($\dot{\mathbf{L}}=\mathbf{M}-m\mathbf{v}_O \times \mathbf{v}_C$) не дала правильного результата? (простите за некропостинг - сам столкнулся с той же проблемой)

[svv]

Решение, описанное в первом сообщении, не дало правильного результата не потому, что использовалось уравнение моментов относительно подвижного начала. Подвижность начала приводит к появлению в уравнении слагаемого $-m\mathbf{v}_O \times \mathbf{v}_C$, но в нашем случае оно равно нулю, потому что оба вектора здесь коллинеарны. Так что новое уравнение моментов по форме не отличается от привычного $\dot{\mathbf L}=\mathbf M$.

А ошибка в том, что сам момент импульса относительно точки $O$ был вычислен неверно. Использовалась формула $L_O=I_O\omega$. Она была бы справедливой, если бы точка $O$ была мгновенным центром вращения в неподвижной системе координат. Но Вы же понимаете, что момент импульса относительно $O$ изменится, если изменить поступательную скорость цилиндра (т.е. его оси симметрии) $v_C$, не меняя $\omega$? Значит, формула неправильная.

[Knight7]

svv в сообщении #1148888 писал(а):

Решение, описанное в первом сообщении, не дало правильного результата не потому, что использовалось уравнение моментов относительно подвижного начала

Так ведь точка $O$, относительно которой мы хотим записать уравнения, подвижна. Как раз ситуация подвижного начала. А вот это утверждение:

svv в сообщении #1105402 писал(а):

при вычислении моментов я не обязан считать, что она подвижна

мне представляется немного странным.

svv в сообщении #1148888 писал(а):

Использовалась формула $L_O=I_O\omega$. Она была бы справедливой, если бы точка $O$ была мгновенным центром вращения в неподвижной системе координат. Но Вы же понимаете, что момент импульса относительно $O$ изменится, если изменить поступательную скорость цилиндра (т.е. его оси симметрии) $v_C$, не меняя $\omega$? Значит, формула неправильная.

Действительно, вы правы. У Сивухина написано, что в данном случае (когда $-m\mathbf{v}_O \times \mathbf{v}_C=0$):

§37 - уравнение моментов относительно движущегося начала и движущейся оси писал(а):

При вычислении момента импульса $\mathbf{L}$ надо брать скорости всех материальных точек обязательно относительно инерциальной системы отсчета $S$, а не относительно центра масс.

Тогда вопрос - как должна выглядеть правильная формула?

[svv]

Knight7 в сообщении #1148928 писал(а):

представляется немного странным

Выберем на поверхности некоторую неподвижную точку $O$. Найдём величины $M_O$ и $L_O$ относительно этой точки (на что указывает индекс $O$). Момент времени $t$, для которого они вычисляются, произвольный, и не предполагается, что в этот момент цилиндр касается поверхности в $O$. Получим $M_O=0, L_O=I_C\omega-mR v_C$.
То, что получилось, не зависит от выбора точки $O$. Пользуемся тем, что получили: подставляем в уравнение $\dot L_O=M_O$.

Knight7 в сообщении #1148928 писал(а):

Тогда вопрос - как должна выглядеть правильная формула?

Вы спрашиваете о том, как я получил выражение для $L_O$?

[Knight7]

svv в сообщении #1149069 писал(а):

Выберем на поверхности некоторую неподвижную точку $O$. Найдём величины $M_O$ и $L_O$ относительно этой точки (на что указывает индекс $O$). Момент времени $t$, для которого они вычисляются, произвольный, и не предполагается, что в этот момент цилиндр касается поверхности в $O$. Получим $M_O=0, L_O=I_C\omega-mR v_C$.
То, что получилось, не зависит от выбора точки $O$. Пользуемся тем, что получили: подставляем в уравнение $\dot L_O=M_O$.

Что-то я запутался. Как можно на поверхности (т.е. на ковре) выбрать неподвижную точку? Ведь поверхность находится в движении. Или вы про поверхность цилиндра? Но там тоже, насколько я понимаю, нет неподвижных точек (всё ускоряется).

svv в сообщении #1149069 писал(а):

Вы спрашиваете о том, как я получил выражение для $L_O$?

Не совсем. Прошу прощения если плохо выразился. Из ваших слов я понял, что формула связывающяя момент импульса с угловой скоростью вращения ($L_O=I_O\omega$) не применима в данном случае (то есть в случае если решать так, как пытался ТС), ибо ось моментов подвижна (а сама формула $L=I\omega$ выводится изначально для неподвижной оси - как в §33 у Сивухина). Согласен. Но ведь это никак не связано с формулой $\mathbf L=\mathbf L'-[\mathbf R\mathbf p]$ (именно ей вы пользуетесь), у которой вообще иное предназначение, и справедлива она только для неподвижных осей (как в §30 у Сивухина). Мне все же хочется рассматривать $O$ как подвижное начало - тогда $\dot{\mathbf{L_O}}=\mathbf{M_O}-m\mathbf{v}_O \times \mathbf{v}_C=\mathbf{M_O} \longrightarrow \dot{\mathbf{L_O}}=\mathbf{0}$ и вместо "привычного" (и неправильного в данном случае, как уже было замечено) $ \mathbf{L_O}=I_O \boldsymbol{\omega}$, следует искать другое, правильное, выражение. Иными словами, вопрос об обобщении выражения $L=I\omega$ (Сивухин §33) на случай подвижной оси.
Спасибо за тепрение :)

P.S. - решил еще раз проверить вывод формулы (30.6) у Сивухина: $\mathbf L=\mathbf L'-[\mathbf R\mathbf p]$. Странно - там предполагается, что $O$ и $O'$ - два неподвижных начала. Но в выводе формулы это предположение никак не используется. Иными словами она справедлива и для подвижных начал? (Если это так, то тогда все мои вопросы отпадают).